Лекція № 4

Тема 2: Теоретичні основи економічної інформатики.

Заняття 2 Арифметичні основи цифрових ЕОМ.

Зміст

1. Загальні відомості про системи числення, позиційні та непозиційні системи числення.

2. Системи кодування інформації в ЕОМ.

3. Форми подання чисел в ЕОМ.

1. Загальні відомості про системи числення

Практична діяльність людини нерозривно пов'язана з числами, за допомогою яких відображаються найрізноманітніші кількісні співвідношення. Будь-яке число утворюється за допомогою набору символів-цифр. Зображення цифр та запис чисел підпорядковані конкретним правилам що утворюють систему числення. Таким чином, під системою числення розуміють сукупність способів найменування, побудови та зображення чисел за допомогою обмеженого набору символів (цифрі), що мають визначене кількісне значення.

Визначення системи числення підкреслює, що її характерними ознаками є:

конкретний обмежений набір символів для зображення чисел;

певний спосіб зображення чисел за допомогою цього набору символів;

в изначений спосіб читання чи найменування чисел.

В залежності від способу зображення чисел за допомогою цифр системи числення розподіляються на два класи:

клас непозиційних систем числення;

клас позиційних систем числення.

Особливістю непозиційних систем числення є те, що вага цифри запишається постійною і не залежить від її місця в запису числа. Найпоширенішим прикладом непозиційної системи є відома всім римська система числення. Запис чисел тут виконується за допомогою цифр I (один), V (п'ять), X (десять), L (п'ятдесят), С (сто), D (п'ятсот), М (тисяча). Кількісний зміст числа, записаного у римській системі числення утворюється відніманням чи додаванням цифр в залежності від місця їх розташування у запису. Наприклад, число XII означає дванадцять, а IX - дев’ять.

До класу непозиційних систем відноситься система числення в остатніх класах (СОК), що буде розглянута нижче.

Незручності при виконанні арифметичних операцій над числами, записаними у непозиційній системи числення, обмежили їх використання на практиці.

Система числення є позиційною, якщо цифри у зображенні числа мають різне кількісне значення в залежності від їх позиції у запису числа. Кожна позиція чи розряд числа має свою вагу, яка визначається застосованою системою числення. В свою чергу, вага позиції визначає кількість цифр, що використовуються для запису чисел. Набір цифр, за допомогою якого утворюються числа у позиційній системі числення, називається основою системи. Основа системи числення визначає її назву. Так, загальновідома десяткова система числення названа так тому, що її основу складають десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Якщо основу будуть складати п’ять цифр (наприклад: 0, 1, 2, 3, 4), систему числення назвемо п’ятірковою.

В залежності від основи системи числення визначається вага кожної позиції у запису числа. Це легко зрозуміти, якщо розглянути запис десяткового числа:

(1)

тобто вага позиції визначається цілими степенями основи системи. Кожна позиція у даному прикладі відрізняється від сусідньої рівно у 10 разів.

Позиції цифр у записі числа називаються розрядами числа.

Сказане можна узагальнити і на інші позиційні системи. Позначимо основу системи літерою R. Якщо R<10, для запису чисел в R-ій системі числення можна використовувати звичні цифри 0, 1, 2, …, зберігаючи їх кількісний зміст. При цьому буде збережений і зовнішній вигляд чисел, але їх кількісний зміст буде змінюватись в залежності від обраної основи. Візмемо набір цифр 243,4. Щоб зрозуміти, яке число у він утворює, треба вказати значення R. Це дозволить записати число у розгорнутій формі і визначити його кількісний зміст. Наприклад, R = 5, тобто використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4.

Тоді

(2)

(індекс у дужках позначає основу системи).

Якщо R = 8, те ж саме число змінить свій зміст:

(3)

Оскільки зміст числа змінюється в залежності від основи R, вже не можна називати його так, як воно виглядає. Наприклад, прочитати число 243,4 як "двісті сорок три та чотири десятих" можна лише у десятковій системі числення, яка є загальновідомою. В інших системах числення число читається як набір цифр: "два, чотири, три, кома, чотири".

Основа R системи числення може бути будь-якою. Але якщо R>10, треба ввести позначення цифр системи, що перевищують звичну цифру 9. Всього для позиційної системи з основою R треба ввести R цифр. Підкреслимо, що кожна цифра будь-якої системи числення може займати лише одну позицію (розряд) числа.

Підсумовуючи викладене, запишемо розгорнуту форму числа А у позиційній, системі числення з основою R:

, (4)

де буквою позначено будь яку цифру в набору (0, 1, 2, (R-1)) що утворює основу системи. Підкреслимо, що як цифри будь-якої системи числення використовуються звичні цифри десяткової системи : a=0, а=1 і т. д.

Якщо основу складають більш як 10 цифр, цифри десяткової системи доповнюються спеціальними символами.

Формулу (4) можна записати в іншому вигляді, відділяючи цілу та дрібну частину числа:

. (5)

На практиці використовують скорочену форму запису числа, опускаючи запис степенів R. Ціла та дрібни частини числа відокремлюються, як і в десятковій системі числення, комою:

(6)

де як коефіцієнти можуть стояти будь-які з R цифр, використовуваних у системі числення: для двійкової системи (R=2) це – 0, 1; для вісімкової (R=8) – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; для шістнадцяткової (R=16) – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (A відповідає 10, B – 11, C - 12, D - 13, E - 14, F – 15).

П риклад 1.

Десяткове число

суми

У шістнадцяткової системі число 175 буде мати вигляд:

суми

У вісімкової системі йому відповідає число 257

суми

а в двійкової формі – число 10101111

суми

Для перекладу двійкового числа у вісімкове або шістнадцяткове варто розбити двійкове число праворуч ліворуч на тріади або тетради відповідно і кожну з них перевести в число

10 101 111 1010 1111

2 5 7 10=A 15=F (7)