Кодування звукової інформації
Прийоми і методи роботи зі звуковою інформацією прийшли в обчислювальну техніку найбільше пізно. До того ж, на відміну від числових, текстових і графічних даних, у звукозаписів не було настільки ж тривалої і перевіреної історії кодування. У підсумку методи кодування звукової інформації двійковим кодом далекі від стандартизації. Безліч окремих компаній розробили свої корпоративні стандарти.
Таким чином, кодування – це, власне кажучи, процес перетворення інформації, вираженої буквами одного алфавіту, і представлення її засобами іншого.
Двійкова система числення
Відповідно до її назви основу двійкової
системи числення складають дві цифри:
0 (нуль) та 1 (одиниця), тобто
чи
.
У зв’язку з цим система має значні переваги порівняно з іншими системами числення:
вона повністю відповідає принципу двійкового кодування інформації в ЕОМ;
вона має найбільш прості правила виконання арифметичних операцій;
технічна реалізація системи потребує елементи, що мають лише два усталених стани; один з них відображує нуль, другий-одиницю.
Наведемо приклад числа у двійковій системі числення:
Відповідно до формули (6) визначимо структуру числа, подавши її у вигляді таблиці (Табл. 1)
Таблиця 1
Двійкове число |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
Номер розряду |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-1 |
-3 |
-4 |
Вага розряду |
25 |
24 |
23 |
22 |
21 |
20 |
2-1 |
2-2 |
2-3 |
2-4 |
Щоб визначити кількісний зміст числа А, запишемо його у розгорнутій формі, як це випливає з формули (4). При цьому для зручності показники степенів та основу R запишемо у десятковій системи числення:
(9)
З розглянутого приклада випливає методичний висновок: щоб зрозуміти кількісний зміст числа, записаного у будь-якій системі числення, його переводять у десяткову систему, оскільки остання є самою звичною для людини.
Вісімкова система числення
Як основу системи використовують перші вісім цифр десяткової системи: 0, 1, 2, …, 7, тобто R(10) = 8, R(8) =10.
Тому зовнішнє число у вісімковій системі числення виглядає як десяткове число. Але його кількісний зміст буде іншим, оскільки вага позиції визначається степенем вісімки, а не десятки.
Наприклад. А(8) = 275,146
Структура цього числа розкрита у табл. 2
Таблиця 2
Вісімкове число |
2 |
7 |
5, |
1 |
4 |
6 |
Номер розряду |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
Вага розряду |
82 |
81 |
80 |
8-1 |
8-2 |
8-3 |
Розгорнута форма числа має вигляд:
(10)
давши указані дії в десятковій системі, одержимо кількісне значення цього вісімкового числа:
(11)
Шістнадцяткова система числення
Основу системи складають шістнадцать цифр, що мають кількісне значення відповідно від нуля до п’ятнадцяти. Як перші десять цифр у системі використовують звичайні десяткові цифри 0, 1, 2, …, 9. Щоб відобразити цифри “десять”, “одинадцять”, …, “п’ятнадцять”, вводять спеціальні символи. Найпоширенішим варіантом є використання перших великих літер латинського алфавіту: А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14, F = 15. Тому число у шістнацятковій системи числення має трохи незвичайний вигляд: K=5A,3E; L=D8,0C2 і т. д.
Оскільки для неї R=16(10) = 10(16), покажемо структуру числа у вигляді табл 3: R = 2С5,Е7
Таблиця 3
Шістнадцяткове число |
2 |
С |
5, |
Е |
7 |
Номер розряду |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
Вага розряду |
162 |
161 |
160 |
16-1 |
16-2 |
Тому розгорнута форма числа має вигляд:
(12)
(тут для зручності основа R та показники степенів записані у десятковій системі числення).
Ця форма дає змогу визначити кількісний зміст вибраного числа:
(13)
Підсумовуючи розглянуте, зробимо декілька висновків.
Оскільки зовнішній вигляд чисел, записаних у різних системах числення, може бути однаковим, необхідно обов’язково позначити систему числення в запису числа (наприклад, індексом у дужках).
Число у будь-якій системі числення (окрім десяткової) читається як перелік цифр, що його складають, починаючи з старшого розряду: 274 – “вісімкове число два, сім, чотири”; 5А3,8Д – “шістнадцяткове число п’ять, А, три кома, вісім Д”.
Чим більшою є основа системи R, тим менш розрядів потрібно для запису цілих чисел, однакових за своїм кількісним змістом. Наприклад, число М(2)= 1101110, М(8)= 156, М(110)= 110, М(16)= 6Е, має однакове кількісне значення.
У будь-якій позиційній системі числення зберігається знак числа, тобто є числа додатні та від’ємні.
Наведемо таблицю відповідності чисел у розглянутих системах числення (табл. 4).
Таблиця 4
Система числення |
|||
двійкова |
вісімкова |
десяткова |
шістнадцяткова |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
10 |
2 |
2 |
2 |
11 |
3 |
3 |
3 |
100 |
4 |
4 |
4 |
101 |
5 |
5 |
5 |
110 |
6 |
6 |
6 |
111 |
7 |
7 |
7 |
1000 |
10 |
8 |
8 |
1001 |
11 |
9 |
9 |
1010 |
12 |
10 |
А |
1011 |
13 |
11 |
В |
1100 |
14 |
12 |
С |
1101 |
15 |
13 |
Д |
1110 |
16 |
14 |
Е |
1111 |
17 |
15 |
F |
10000 |
20 |
16 |
10 |
10001 |
21 |
17 |
11 |
10010 |
22 |
18 |
12 |
10011 |
23 |
19 |
13 |
10100 |
24 |
20 |
14 |
Двійково-десяткова система числення
Ця система не є класичною позиційною системою у тому розумінні, як це викладено вище. Вона залишається десятковою системою числення, але кожний десятковий символ (цифра) записується у двійковій системі числення. Як випливає з табл. 4, для запису цифр від 0 до 9 треба відвести чотири розряди (тетраду). Тому, запис числа у двійково-десятковій системі має вигляд:
А(10)= 973,25
А(2-10)= 1001.0111.0011,0010.0101. (14)
Двійково-десяткову систему числення називають також двійковокодованою системою із кодом 8421, де цифри 8, 4, 2, 1 визначають вагу відповідних розрядів у запису цифр десяткового числа.
Розглянуте двійкове кодування цифр десяткового числа за допомогою двійкової системи числення не е єдиним. Можна запропонувати безліч варіантів подання цифр десяткового числа сукупністю одиниць та нулів. При цьому двійкові коди будуть мати довжину не менш як чотири розряди (тетради), оскільки необхідно мати десять (по кількості цифр десяткової системи) рівних комбінацій 1 та 0. Прикладами таких двійкових кодів є коди з "надлишком 3", "надлишком 5" та інші.
Існують і інші системи числення, але вони не використовуються в обчислювальній техніці. Наприклад.
Змішана система
Змішана
система числення
є узагальненням системи числення з
основою b
і її часто відносять до позиційних
систем числення. Основою змішаної
системи є послідовність чисел, що
зростає,
кожне
число х представляється як лінійна
комбінація:
де на коефіцієнти акіїщфріі) накладаються деякі обмеження.
Якщо bk = bk для деякого b, то змішана система співпадає з 6-основною системою числення.
Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів h годин т хвилин s секунд відповідає значенню
секунд.
Система числення Фібоначчі
Представлення засновується на числах Фібоначчі:
,
Де Fk
– числа Фібоначчі
,
при цьому у записі
не
зустрічаються дві одиниці підряд.
Факторіальна система числення
Представлення використовує факторіал натуральних чисел:
,
де
.
Біномальна система числення
П
редставлення
використовує біномальні коефіцієнти:
,
Де
.
Система числення майя
Майя використовували двадцяткову систему числення за одним винятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році.
Способи переведення чисел з однієї системи числення в іншу
Арифметичні операції в усіх позиційних системах числення виконуються за одними і тими ж правилами. Для проведення арифметичних операцій над числами, представленими в різних системах числення, необхідно заздалегідь перетворити їх в одну систему числення і врахувати те, що перенесення в наступний розряд при операції складання і позика із старшого розряду при операції віднімання визначається величиною підстави системи числення.
Основне достоїнство двійкового кодування інформації полягає в його простоті, тому що дозволяє реалізувати надзвичайно простими технічними засобами усі види інформаційних процесів (збір, збереження, обробка і передача інформації) в обчислювальних пристроях і системах зв'язку.
Арифметичні операції в двійковій системі числення засновані на таблицях складання, віднімання і множення однорозрядних двійкових чисел і легко можуть здійснюватися за допомогою автоматичних пристроїв.
Саме такими пристроями і є усі без винятку ЕОМ.
При складанні двох одиниць відбувається переповнювання розряду і робиться перенесення одиниці в старший розряд, при відніманні 0 ‑ 1 робиться позика із старшого розряду, в таблиці "Віднімання" ця позика позначена 1 з рисою над цифрою.
Складання |
|
Віднімання |
|
Множення |
||||||
0 + 0 |
= |
0 |
0 ‑ 0 |
= |
0 |
0 · 0 |
= |
0 |
||
0 + 1 |
= |
1 |
0 ‑ 1 |
= |
1 |
0 · 1 |
= |
0 |
||
1 + 0 |
= |
1 |
1 ‑ 0 |
= |
1 |
1 · 0 |
= |
0 |
||
1 + 1 |
= |
10 |
1 ‑ 1 |
= |
0 |
1 · 1 |
= |
1 |
||
В ЕОМ використовуються всі системи числення, розглянуті вище. Вся вихідна інформація, що задається людиною, подається у звичайній для-неї десятковій системі. В записах програми вживають вісімкову та шістнадцяткову системи числення. Обробка інформації ЕОМ виковується, як правило, у двійковій системі. Тому виникає потреба у переведенні чисел з однієї системи числення в іншу. Способи переведення залежать від заданого числа (ціле чи дрібне) та заданих систем числення. Тому поряд з універсальними способами переведення, існують такі, застосовуються лише для конкретній систем числення.
Переведення цілого числа
Універсальний спосіб переведення цілих чисел із системи з основою R в систему з основою Rn стає зрозумілим якщо звернутися до розгорнутої форми запису числа (4). При цьому запишемо цифри та основу R символами вихідної системи:
(15)
З (15) випливає, що цифра нульового розряду а0 утворюється як остача від ділення заданого числа А на основу нової системи числення Rн. Результат ділення буде мати вигляд:
Якщо цей результат розділити знову на Rн, здобудемо остачу а1 що є цифрою першого розряду.
Продовжуючи ділення, одержимо послідовно
всі цифри числа А в системі числення з
основою Rн, зображені
символами вихідної системи. Останнє
має значення тоді, коли
,
тому що заключною операцією є переведення
здобутих цифр в цифри нової системи.
Приклад 1. Перевести. десяткове число
у двійкову систему числення.
Звідси
.
Приклад 2. Перевести десяткове число
у вісімкову систему числення.
Тому
.
Приклад 3. Перевести десяткове число
у шістнадцяткову систему числення.
Тому
.
Цей приклад показує, що після одержання результату у цифрах десяткової системи (оскільки основа 16 більше 10) треба перевести цифри у шістнадцяткову систему.
Приклад 4. Перевести число
у десяткову систему числення. Оскільки
ділення виконується у вихідній системі,
основу
треба записати у двійковій системі:
Переводячи остачі в десяткову систему
числення, одержимо результат:
.
Переведення дрібного числа
Підкреслимо одразу що оскільки мова йде про дрібне число, ціла частина залишається нульовою у будь-якій системі числення. Щоб здобути спосіб утворення цифр дрібної частини, запишемо число у розгорнутій формі, використовуючи цифри вихідної (заданої) системи числення.
(16).
З цього запису випливає, що цифра а-1 першого після коми розряду утворюється як ціла частина числа; якщо помножити його на основу Rн системи, у яку воно переводиться:
Виключивши з цього числа цілу частину а-1, знову виконаємо множення на Rн. При цьому одержимо цілу частину а-2, що є цифровою другого розряду після коми. Продовжуючи множення дрібної частини, послідовно одержимо цифри. інших розрядів. Слід підкреслити, що цей процес у загальному випадку є нескінченним. Тому його припиняють, коли досягнута потрібна точність переведення.
Приклад 5. Перевести десяткове число
у двійкову систему числення:
Звідси
Приклад 6. Перевести десяткове число
у вісімкову систему числення:
Тому
.