4.2. Влияние гравитационного поля Земли и атмосферного торможения

Кратко рассмотрим влияние гравитационного поля Земли. В свободном состоянии ИСЗ движется по эквипотенциальной поверхности гравитационного поля. Если бы Земля представляла из себя шар с равномерным сферическим распределением плотности, эквипотенциальные поверхности также представляли собой сферы.

Из-за неравномерности распределения масс в теле Земли, форма эквипотенциальных поверхностей искажается, выравниваясь (сглаживаясь) с удалением от планеты. Однако, на высотах 200-2000 км, на которых лежат геодезические спутники, неравномерности гравитационного поля заметны.

Гравитационный потенциал в некоторой точке, лежащей на определённой эквипотенциальной поверхности, обозначается символом U. Потенциальная энергия ИСЗ равна величине U. Кинетическая энергия ИСЗ будет:

где: - m – масса спутника;

- – скорость спутника по осям координат.

Функция Лагранжа (лагранжиан) для космических объектов

Производную от лагранжиана по обобщённой скорости

,

где:

,

называемая обобщённым импульсом.

Производная:

называется обобщённой силой. Интеграл вида:

называется действием, где q - обобщённые координаты.

Механическая система перемещения в пространстве из точки с координатами q₁ (момент времени t₁) в точку с координатами q₂ (момент времени t₂) так, что действие S стремиться к минимуму (S→min). Это так называемый принцип Гамильтона.

Система уравнений Лагранжа II рода имеет вид:

,

где j = 1, 2, 3, …., n.

С учётом вышесказанного, лагранжиан принимает вид

Уравнение движения:

Если на систему действует непотенциальная сила F, например сила торможения атмосферы, уравнение Лагранжа примет вид

Уравнения движения примут вид

где F_x, F_y, F_z – проекции непотенциальной силы на оси.

Потенциал гравитационного поля Земли запишем в виде:

где: - f – гравитационная постоянная;

- М – масса Земли;

- r – радиус-вектор ИСЗ массой m;

- δu – возмущающий потенциал.

При этом:

Для перехода от орбитальных координат к геоцентрическим используем совокупную матрицу поворота R. Тогда можно записать:

Уравнения возмущённого движения примут вид

Эти уравнения описывают возмущённое движение ИСЗ под действием потенциальных сил. Величина R называется возмущающей или пертурбационной функцией.

При наличии непотенциальных сил, уравнения примут вид:

4.3 Возмущающее действие Луны и Солнца

Под влиянием притяжения Луны и Солнца в элементах орбиты спутника появляются вековые, долгопериодические и короткопериодические возмущения. Возмущающее ускорение, обусловленное притяжением Луны, примерно в 2,2 раза больше, чем возмущающее ускорение, обусловленное притяжением Солнца.

Если при рассмотрении движения ИСЗ вокруг Земли решалась задача двух тел, то при рассмотрении движения с учётом влияния Луны или Солнца, решается задача трёх тел: Земля-ИСЗ-Луна и Земля-ИСЗ-Солнце.

Рис. 21 К задаче трёх тел

На рисунке 21 показана такая задача. Здесь:

- М – масса Земли

- m – масса ИСЗ

- m₁ – масса третьего тела – Луны или Солнца

- r – радиус-вектор ИСЗ

- r₁ – радиус-вектор третьего тела

- ∆ – расстояние от ИСЗ до третьего тела

- ψ – угловое расстояние ИСЗ - третье тело

Рассмотрим рисунок 22:

Рис 22 Оскулирующие орбиты

Допустим, что в момент времени t₁ ИСЗ находится в точке 1. Если считать, что нет возмущающих влияний и ИСЗ движется по невозмущенной орбите №1. Но из-за возмущающих факторов ИСЗ через время dt переместиться не в точку 2´, а в точку 2. Считаем, что в этой точке так же отсутствуют возмущающие факторы и спутник движется по невозмущенной орбите №2. Те же рассуждения применимы к точке 3 и таких точек на реальной орбите может быть бесконечное множество. Соответствующие или невозмущённые орбиты носят названия оскулирующих. Точки 1,2,3… называют точками оскуляции, а соответствующие им моменты времени называются эпохами оскуляции.

Если эпохи оскуляции двух орбит отличаются на малую величину dt, то и элементы оскулирующих орбит а, е, i, ω, Ω, М также отличаются на малую величину. То есть, если реальная, возмущённая орбита представляет собой совокупность бесконечного количества оскулирующих орбит, то можно представить, что орбиты будут функциям времени:

а(t), е(t), i(t), ω(t), Ω(t), М(t)

Для упрощения обозначим совокупность элементов орбиты символом Э. Так как возмущённая орбита – непрерывная кривая, то существуют и непрерывные производные:

Отсюда следует, что существует дифференциальное уравнение вида:

где j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Уравнение возмущённого движения:

Здесь правые части уравнений выражаются через производные от пертрубационных функций.

В конечном счёте задача сводится к решению системы шести уравнений

Для решения данной системы уравнений, правые части должны быть явно выражены через элементы орбиты или представлены в виде рядов относительно какой-либо переменной, зависящей от времени.

Такой подход позволяет представить любой элемент орбиты в виде ряда:

где: - Э_i (t₀) – значение элемента в начальный момент времени;

- δ_nЭ_i – возмущение n-порядка.