1.3 Преобразование координат
Использование нескольких систем координат вызвано тем, что решение конкретных задач удобнее производить в «своей» системе. При этом возникает необходимость перевести результаты или исходные данные в другую систему координат.
Перевод координат из системы в систему называется преобразованием.
Формулы связи между первой, второй экваториальными системами и горизонтальной системой координат рассматривается в курсе астрономии. Кроме того, в этом курсе рассматривается связь между перечисленными астрономическими координатами и координатами точки на земной поверхности – астрономической широтой φ и астрономической долготой λ. Связь между астрономическими и эллипсоидальными широтами, долготами и азимутами осуществляется через значения составляющих уклонения отвесной линии.
Если известны (измерены) координаты небесного тела, например, ИСЗ во второй экваториальной системе координат (α и δ) известен радиус-вектор r, то прямоугольные инерциальные геоцентрические координаты объекта будут:
Обратный переход осуществляется по формулам
Если известны (измерены) координаты ИСЗ во второй экваториальной системе координат (α’ и δ’) и известен радиус вектор ρ, то прямоугольные инерциальные топоцентрические координаты объекта будут:
Обратный переход осуществляется по формулам
Мы установили, что геодезические прямоугольные системы координат, земная и инерциальная, вращаются относительно друг – друга вокруг осей z и Z, делая один оборот за одни звёздные сутки.
Угол разворота по своей сути есть гринвичское звёздное время S, приведённое на эпоху 1900-1905 гг. Поэтому связь гринвичской и инерциальной систем координат можно описать в виде матричного выражения:
(1)
При решении динамических задач космической геодезии возникает необходимость преобразовать не только координаты, но скорости. Скорость - первая производная изменения координат. В инерциальной СК составляющие скорости по осям координат выглядят:
Для составляющих скорости в гринвичской СК будем иметь:
Продифференцируем матрицу связи S и умножим её на скорость вращения Земли ωЗ:
Угловая скорость вращения Земли считается постоянной и равной:
ωЗ = 0.729211508 · 10-4 рад/с
Для решения задачи преобразования вводится вектор q, составленный из инерциальных координат ИСЗ и составляющих его скорости. В транспонированном виде он выглядит:
Такой же вектор, но в гринвичской СК выглядит:
Соответственно, прямой и обратный переходы в матричном виде будут выглядеть так:
Матрица преобразования G с учётом вышеизложенного:
Обратная матрица получается транспонированием подматриц:
Рассмотрим общие формулы преобразования координат (рис. 17). Смещение начала координат учитывается формулами:
Рис. 17 Смещение начала координат и разворот
В матричном виде
Для учёта разворота системы координат введём углы разворота системы относительно осей другой системы, называемые углами Эйлера:
α - вокруг оси Z
β - вокруг оси Y
γ - вокруг оси X
Преобразование будет производиться в соответствии с матричным уравнением:
Направляющие косинусы матрицы поворота (вращения) будут:
