2.2. Силовая задача
Абсолютно жесткий брус ВК, нагруженный силой F, шарнирно закреплён в точке В и подвешен на двух стальных стержнях с сечением А1 и А2 (рисунок 2.1). Длины стержней l1 и l2. Модуль упругости Е. Найти напряжения в стержнях 1 и 2.
Стержневая система.
Рисунок 2.1.
Решение.
Статическая сторона задачи.
Заменим мысленно опорный шарнир реакциями Rх и Rу, а стержни их усилиями N1 и N2 (рисунок 2.2).
Составим уравнения равновесия плоской системы сил:
Х= Rх =0;
У= Rу + N1+ N2 - F= 0;
МВ= N1·а + N2· в – F·d= 0. (2.2 )
В три уравнения входят четыре неизвестные силы. Следовательно, задача один раз статически неопределимая, так как С.С.Н.= Н.У. – У.С.= 4 -3 = 1.
Расчетная схема.
Рисунок 2.2.
Геометрическая сторона задачи.
В результате деформаций стержней жёсткий брус BD повернётся вокруг шарнира В, оставаясь прямым.
Перемещение шарнира С(СС1) равно удлинению стержня 1(l1), а перемещение шарнира Д(ДД1 )удлинению стержня 2(l2).
Следует отметить, что направление усилий в стержнях должно соответствовать направлению перемещений. Иначе полученные уравнения будут несовместимыми.
Из подобия треугольников ВСС1 и ВДД1 находим:
или
.
Откуда
. (2.3)
Схема перемещений.
Рисунок 2.3.
Физическая сторона задачи.
Удлинение стержней выразим по закону Гука через действующие в них внутренние силы:
(2.4)
Подставляя значения l1 и l2 из выражений (2.4) в выражение (2.3), получим:
.
(2.5)
Откуда
(2.6)
где Е·А1 и Е·А2 жесткости соответственно первого и второго стержней.
Подставим найденное выражение усилия N2 в уравнение равновесия (2.2) получим уравнение для определения N1 :
.
(2.7)
По уравнениям (2.7) и (2.6) определяем значения N1 и N2.
Используя эти значения продольных сил определяем нормальные напряжения в стержнях:
;
.
(2.8)
2.3. Температурная задача
Абсолютно жесткий брус ВД шарнирно закреплён в точке В и подвешен на двух стальных стержнях с сечением А1 и А2 . В процессе работы первый стержень нагрет на t. Найти напряжения в стержнях 1t и 2 t.
Решение.
Статическая сторона задачи.
Из трех уравнений равновесия статики два первых можно не рассматривать, так как они не используются в дальнейших расчетах. По расчетной схеме (рисунок 2.4.) составим уравнение равновесия статики необходимое для дальнейших расчетов:
.
(2.8)
Расчетная схема.
Рисунок 2.4.
Задача один раз статически неопределимая т.к., при двух неизвестных (N1 и N2) имеем только одно уравнение (2.8).
Геометрическая сторона задачи.
В результате изменения температуры в стержне 1 стержни удлиняются и жёсткий брус BD повернётся вокруг шарнира В, оставаясь прямым. Из подобия треугольников ВСС1 и ВДД1 (рисунок 2.5.) находим зависимость между перемещениями нижних концов стержней:
,
где
;
.
Тогда:
.
(2.9)
Физическая сторона задачи.
;
;
.
(2.10)
Подставляем значение l1, l2 и lt из выражения (2.10) в выражение (2.9), получим:
.
(2.11)
Выразив N2 через N1 :
(2.12)
и
внося выражение (2.12) в уравнение (2.8),
будем иметь:
.
(2.13)
Схема перемещений.
Рисунок 2.5.
По уравнениям (2.12) и (2.13) определяем значения N1 и N2.
Используя эти значения продольных сил определяем нормальные напряжения в стержнях 1t и 2 t :
и
.
(2.14)