Исходные данные для ргр 4 в приложении 4.

4.2 Пример. Расчет на кручение.

Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен внешними скручивающими моментами (рисунок 4.3.). Требуется определить диаметр вала и построит эпюры внутренних крутящих моментов наибольших касательных напряжений, абсолютных и относительных углов поворота поперечных сечений. [τ] = 130 МПа.

Дано:

Т₁ = 30 кН м; Т₂ = 18 кН м; Т₃ = 12 кН м.

[θ] = 2 гр/м; G = 8·10⁴ МПа

[τ] = 130 МПа; а = 1,5 м ; в =1 м; с = 1,2 м.

Расчетная схема.

Рисунок 4.3.

Решение: Из условия равновесия находим реактивный момент в заделке.

Σ T_i = 0, Т₀-Т₁+Т₂-Тз =0.

Откуда T₀ = Т₁-Т₂+Т₃ = 24 кН· м.

Пользуясь методом сечений, вычисляем внутренние крутящие моменты в сечениях.

Участок 1: 0 < х < 1,5м М_K1 = Т₀ = 24 кН·м.

Участок 2: 1,5 < х < 2,5 М_K2 = Т₀-Т₁ = -6 кН·м .

Участок 3: 2,5 < х < 3,7м М_K3 = Т₀-Т₁+Т₂ = 12 кН·м.

При х = а + в +с = 3,7 м М_K = То-Т₁+Т₂-Т₃ = 0 .

Эпюра крутящих моментов на рисунке 4.4.

Из условия прочности и жесткости определяем диаметр вала:

Окончательно принимаем большее из полученных значений, но с учетом стандартных диаметров вала, то есть принимаем D = 100 мм.

Тогда полярные момент инерции и момент сопротивления будут равны:

Вычисляем значения наибольших касательных напряжений на отдельных участках вала.

Участок 1:

Участок 2:

Участок 3:

.

Эпюра наибольших касательных напряжений показана на рисунке 4.4.

Определив жесткость поперечного сечения при кручении, найдем значения углов поворота на каждом участке: .

Угол поворота на участке 1:

Угол поворота на участке 2:

Угол поворота на участке 3:

По найденным значениям углов поворота определяем углы поворота сечений.

Угол поворота сечения В: φ_В= φ₁ = 2,63° .

Угол поворота сечения С: φ_С=φ_В+φ₂= 2,192°.

Угол поворота сечения Д: φ_Д = φ_С + φ₃ = 3,2435°.

Определяем относительные углы закручивания:

Кручение.

Рисунок 4.4.

5.Изгиб

5.1. Общие сведения

Изгиб представляет собой такую деформацию, при которой происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев. Брус работающий на изгиб, принято называть балкой.

Плоскость, проходящая через продольную ось стержня и одну из главных центральных осей его поперечного сечения, называется главной плоскостью.

Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса внутренних изгибающих моментов.

Прямой изгиб возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. Такая плоскость называется силовой.

При плоском поперечном изгибе балки ее ось располагается в силовой плоскости. При этом продольные волокна на выпуклой части балки растягиваются, а на вогнутой – сжимаются (рисунок 5.1). Слой промежуточных волокон, не изменяющих своей длины, называется нейтральным.

При изгибе балки внутренние усилия, возникающие в поперечном сечении, приводятся к поперечной силе, совпадающей с осью у, и изгибающему моменту, действующему в плоскости хоу (рисунок 5.2).

Поперечной силой в сечении балки является равнодействующая внутренних касательных сил, возникающих в нем. Изгибающим моментом называется результирующий момент внутренних нормальных сил относительно оси Z поперечного сечения.

Деформация волокон при изгибе.

Рисунок 5.1.

Если в поперечных сечениях балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, изгиб называется поперечным. При действии только изгибающего момента изгиб называется чистым.

Значения поперечной силы и изгибающего момента находятся методом сечения.

Поперечная сила в рассматриваемом сечении равна алгебраической сумме проекций на ось y всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения:

Q=ΣF_i^лев=ΣF_i^пр. (5.1)

Изгибающий момент в каком-либо поперечном сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения относительно нейтральной оси этого сечения:

M_u= ΣM_i^лев = ΣM_i^пр . (5.2)

Вычислив по формулам (5.1) и (5.2) значения поперечной силы и изгибающего момента в различных сечениях балки, строят эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Изгибающий момент Ми в поперечном сечении считается положительным, когда на левом торце правой части бруса он направлен по часовой стрелке, а на правом торце левой части - против часовой стрелки, т.е. если растянуты нижние волны .

П равила знаков для поперечных сил и изгибающих моментов

(положительные направления).

Рисунок 5.2.

Поперечная сила Q положительна, когда на левом торце правой части бруса она направлена снизу вверх, а на правом торце левой части – сверху вниз: (рисунок 5.2)

Если найдены значения внутренних силовых факторов для балки, можно определить нормальные и касательные напряжения в любой точке балки, проверить прочность материала и подобрать размеры поперечного сечения.

Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения определяются по формуле:

, (5.3)

где J_z – осевой момент инерции относительно нейтральной оси;

М_и– изгибающий момент в рассматриваемом сечений;

у_i – расстояние от нейтральной оси до точки.

Касательные напряжения в произвольной точке поперечного сечения определяются по формуле Журавского:

, (5.4)

где - S_отс– статистический момент отсеченной части

относительно нейтральной оси,

b_отс – ширина сечения балки на том уровне, на

котором определяются касательные напряжения.

Условие прочности балки по нормальному напряжению:

, (5.5)

где [σ] – допускаемое нормальное напряжение.

Для сечений, симметричных относительно нейтральной оси, формула (5.5) может быть записана следующим образом

, (5.6)

где -осевой момент сопротивления.

Условие прочности балки по касательным напряжениям

. (5.7)

где [τ] – допускаемое касательное напряжение.

Перемещение центра тяжести сечения в направлении, перпендикулярном к оси балки, называется прогибом балки в данной точке. Угол, на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения.

Нагрузки действующие на балку.

Рисунок 5.3.

Для определения прогиба и угла поворота сечения балки воспользуемся универсальными уравнениями метода начальных параметров:

; (5.8)

, (5.9)

где a_i, b_i, c_i – расстояния от начала координат соответственно до сечений, в которых приложены моменты, силы, и до начала участка, загруженного равномерно распределенной нагрузкой (рисунок 5.3);

у₀ , θ₀ - прогиб и угол поворота в начале координат.

При использовании универсальных уравнений метода начальных параметров для определения у, θ следует придерживаться следующих правил:

1. За начало координат принимается левый конец балки.

2. В уравнения включать те реакции и заданные нагрузки, которые расположены слева от сечения.

3. Все факторы принимать по правилу изгибающих моментов.