Исходные данные для ргр 3 в приложении 3.

3.2 Пример. Определение геометрических характеристик составной фигуры.

Для составного сечения из прокатных профилей, определить положение центра тяжести, вычислить значения центробежного и осевых моментов инерции, найти положение главных центральных осей инерции и определить значение главных центральных осей инерции.

Рисунок 3.5. Составное сечение.

По сортаменту находим: а) швеллер №30

А₁= 40,5см², J_Х1= 5810 см⁴,

J_У1= 327см⁴ ,z₀=2,52 см; h₁= 30 см;

б) уголок 25/16,

А₂= 48,3 см², J_Х= 3147 см⁴, J_У= 1032 см⁴,

J_min=604 см⁴, х₀=3,53 см; у₀=7,97 см .

Решение: По формуле (3.5) находим координаты Хс и Ус центра тяжести заданного составного сечения в системе координат х₂у₂ координаты центров тяжести швеллера и уголка:

х₁=z₀+у₀=2,52+7,97=10,49 см, и х₂= О, у₂= О,

у₁= h₁/2 — х₀=15-3,53=11,47см. ,

.

Проведем оси ху через центр тяжести составного сечения, которые будут центральными осями и вычислим значения осевых и центробежных моментов инерции относительно центральных осей используя зависимости между ними:

J_Х= J_Х1+а₁²• А₁+ J_Х2+ а₂² • А₂ =5810+6,24² • 40,5+1032+

+5,23₂ • 48,3= 9740,12 см⁴, J_У= J_У1+в₁²• А₁+ J_У2+ в₂²• А₂ = 327+5,71² • 40,5+3147+4,78²• 48,3=

= 5898 см⁴,

J_ХУ= J_Х1У1+а₁• в₁ • А₁+ J_Х2У2+ а₂• в₂• А₂ =

=6,24• 5,71• 40,5+1043,27 +(-5,23) • (-4,78) • 48,3=3693,74 см⁴,

где а₁=у₁ - у_с=11,47 -5,23= 6,24см ;

а₂=у_с =5,23см;

в₁=х₁ –х_с=10,49 – 4,78=5,71см;

в₂=х_с=4,78см.

,

Используя формулу ( 3.12) определяем положение главных центральных осей инерции: .

2α₀= -62⁰ 30'; α₀= -31⁰ 15'.

Главные центральные оси u,v будут повернуты относительно осей х,у на угол α₀ по часовой стрелке (α<0).

Вычисляем значения главных центральных моментов инерции по формуле ( 3.13):

J_U= J_max=11982.48см⁴;

J_V= J_min =3655,62 см⁴

Сложное сечение.

Рисунок 3.5.

Проверим точность вычислений:

J_Х + J_У = J_U+ J_V ;

J_Х + J_У =9740,12+5838=15638см⁴,

J_U+ J_V =11982,48+3655,62=15638,1 см⁴ .

Для построения эллипса инерции вычислим главные радиусы инерции:

; .

4. Кручение.

4.1. Общие сведения

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент Мк.

Если прямой брус находится в состоянии покоя или равномерного вращения, то алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу, равна нулю.

Внутренние крутящие моменты определяются по внешним скручивающим моментам с помощью метода сечений (рисунок 4.1а).

Крутящий момент в поперечном сечении бруса равен сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения (рисунок 4.1б).

Крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса внутренний момент представляется направленным по движению часовой стрелки (рисунок 4.1б).

Метод сечений.

Рисунок 4.1.

График изменения крутящих моментов по длине бруса называют эпюрой крутящих моментов.

В сечении, в котором к брусу приложен внешний скручивающий момент, ордината эпюры изменяется скачкообразно на величину, равную значению этого момента.

При кручении брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, принимаются следующие гипотезы:

1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации остаются плоскими и нормальными к ней и после деформации.

1. Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину.

2. Расстояние между поперечными сечениями не изменяются.

Кроме того, предполагается, что при кручении остается справедливым закон Гука при сдвиге:

τ = G·γ , (4.1)

где τ - касательное напряжение;

G - модуль сдвига;

γ - угол сдвига.

Если крутящий момент во всех поперечных сечениях бруса имеет одно и то же значение, а размеры сечения постоянны по всей его длине, то угол закручивания определяется по формуле:

, (4.2)

где l - длина участка (м),

Jp - полярный момент инерций (м⁴).

Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения круглого бруса определяется по формуле:

, (4.3)

где r - расстояние от оси бруса до точки;

Jp - полярный момент инерций.

Эпюра касательных напряжений.

Рисунок 4.2.

В центре (при r =0 ) касательные напряжения равны нулю (рисунок 4.2.). Наибольшее значение касательного напряжения при r_max = D/2:

, (4.4)

где Wp -полярный момент сопротивления :

. (4.5)

Для круглого сечения диаметром D полярные момент инерции и момент сопротивления определяются по формулам:

; (4.6)

. (4.7)

Для кольцевого сечения:

; (4.8)

, (4.9)

где - β = d /D; d - внутренний диаметр кольца.

Относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины) определяется по формуле:

, (4.10)

где GJ_p – жесткость стержня при кручении.

Условие жесткости при кручении имеет вид:

, (4.11)

где [θ]– допускаемый относительный угол закручивания.

Условие прочности при кручении:

, (4.12)

где [τ ] - допускаемое касательное напряжение.

Задача подбора сечения производится по условию жесткости и условию прочности.

Для сплошного сечения:

; (4.13)

. (4.14)

Для кольцевого сечения:

; (4.15)

. (4.16)

За окончательный результат принимается большее значение диаметра.