Исходные данные для ргр 5 в приложении 5.

5.2. Примеры. Пример 5.2.1. Прямой поперечный изгиб

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для стальной балки на двух опорах. Подобрать двутавровое сечение при [σ]=280МПа. Методом начальных параметров определить прогиб и угол поворота сечений К.

Дано: а=4,2 м; в=3,4 м; с=5,4 м; d=3,4 м; F=21кН; М=14кН∙м; q=7,3 кН/м

Заданная балка.

Рисунок 5.4.

Решение:

1. Для определения опорных реакций составим уравнения равновесия в форме:

∑Fx=0; Н_А=0; (1)

∑M_В=0; M + F( b+с)+q∙b (с+b/2) - R_А∙(a+b+c) =0; (2)

∑M_A=0; R_B∙(a+b+c) + M - F∙a-q∙b∙ (a+b/2)=0. (3)

Из уравнения (3) определяем реакцию R_B :

По уравнению (2):

Проверка: ∑Fy=0; R_A+R_B-q∙b-F=0

28,9+16,95-7,3·3,4 -21=0.

Расчетная схема.

Рисунок 5.5.

2. По участкам определяем значения Q и Ми.

Участок 1 (слева направо).

0£ х₁ £4,2м

∑Fy=0: R_A -Q₁=0. Q₁ = R_A=28,9кН.

∑M_i=0: M₁ -R_A∙x₁ =0; M₁= R_A ∙x₁ .

При х₁=0: M₁=0. При х₁=4,2м: M₁=121,4кНм.

Участок 2 (слева направо.)

4,2£ х₂£ 7,6м.

∑Fy=0: R_A – Q₂ – F – q(x₂ –a)=0.

Q_{2 =}R_A – F – q(x₂ –a).

∑M_i=0: М₂- R_A∙x₂+F(x₂- a) + q(x₂- a)²/2=0;

М₂=R_A∙x2 –F(x₂- a) – q(x₂- a)²/2.

При х₂=4,2м: Q₂ =7,9kH; M₂=121,4кН∙м..

При х₂=7,6м: Q₂ =-16,95kH; M₂= 106кН∙м..

Так как Q₂ на граничных сечениях участка разного знака, то определяем M₂ в сечений, где Q₂ равна нулю:

Q₂=0 при x₂=a+ (R_A –F)/q=4,2+(28,9 -21)/7,3=5,28м.

М_{2\ х=5,28}=125,7кН∙м.

Участок 3 (справа налево.)

3,4 £ х₃ £ 8,8м.

∑Fy=0: R_В + Q₃=0; Q₃ = –R_B= – 16,95kH.

∑M_i=0: M – М₃ + R_B∙(x₃- d) =0; М₃= M –R_A∙ (x₃- d).

При х₃=3,4м: M₃ =14кН∙м.

При х₃=8,8м: M₃= 106кН∙м.

Участок 4 (справа налево).

0£ х₄ £4,2м

∑Fy=0: Q₄=0.

∑M_i=0: M – M₄=0; M₄ = M =14 кН∙м .

3.По расчетным значениям строим эпюры Q и Ми (рисунок 5.6.).

4. Подбор двутаврового сечения балки.

По условию прочности определим момент сопротивления сечения:

По сортаменту выбираем двутавр №30:

W_z = 472 cм³;

J_z = 7080 см⁴;

Е = 2∙10⁵Мпа;

EJ_z=14160кН∙м².

Проверка прочности:

σ<[σ] = 280МПа прочность обеспечена.

5.Определение прогиба и угла поворота в сечений К методом начальных параметров.

Начало координат помещаем в левом конце балки. Так как начало координат в шарнирной опоре, то у₀=0, θ₀≠0.

Для определения угла поворота в начале координат θ_o используем условия закрепления балки: при x_В=a+b+c=13м y_В=0:

или

Отсюда

Используя универсальные уравнения метода начальных параметров определим прогиб и угол поворота сечения К:

при х_к=a+b=7,6м

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Рисунок 5.6.