2.4. Монтажная задача

Абсолютно жесткий брус ВД шарнирно закреплён в точке В и подвешен на двух стальных стержнях с сечением А₁ и А₂ . При изготовлении второй стержень оказался короче проектного размера на Δ. Найти монтажные напряжения в стержнях ₁^Δ и ₂ ^Δ.

Решение.

Статическая сторона задачи.

Из трех уравнений равновесия статики два первых можно не рассматривать, так как они не используются в дальнейших расчетах. По расчетной схеме (рисунок 2.6.) составим уравнение равновесия статики необходимое для дальнейших расчетов:

Расчетная схема.

Рисунок 2.6.

. (2.15 )

Задача один раз статически неопределимая т.к., при двух неизвестных (N₁ и N₂) имеем только одно уравнение (2.15).

Геометрическая сторона задачи.

В результате изменения температуры в стержне 1 стержни удлиняются и жёсткий брус BD повернётся вокруг шарнира В, оставаясь прямым. Из подобия треугольников ВСС¹ и ВДД¹ (рисунок 2.7.) находим зависимость между перемещениями нижних концов стержней:

где ; .

Схема перемещений.

Рисунок 2.7.

Тогда: . (2.16)

Физическая сторона задачи.

Используя закон Гука выразим деформации через усилия стержней:

; . (2.17)

Подставив значения l₁ и l₂ из выражения (2.17) в соотношение (2.16), получим :

. (2.18)

Выразим N₂ через N₁:

. (2.19)

Внося выражение (2.19) в уравнение (2.15), будем иметь:

Отсюда найдём N₁. Затем по (2.19) найдем N₂.

Значения монтажных напряжений ₁^∆ и ₂ ^∆ определяем по формулам:

; . (2.20)

При совместном действий внешней силы, изменения температуры и монтажных усилий напряжения в стержнях определяются суммированием результатов вычислений по формулам (2.8), (2.14) и (2.20).

Исходные данные для РГР 2 в приложении 2.

2.5. Пример. Статически неопределимая стержневая система.

Абсолютно жесткий брус ВК, нагруженный силой F, шарнирно закреплён в точке В и подвешен на двух стальных стержнях с сечением А₁ и А₂ (рисунок 2.8).

Требуется:1) найти напряжения в стержнях ^F₁ и ^F₂ при действий силы F;

2) найти температурные напряжения в стержнях ^t₁ и ^t₂, если стержень 1 нагревается на Δt;

3) найти монтажные напряжения в стержнях ^Δ₁ и ^Δ₂, если стержень 2 изготовлен короче проектного размера на Δ;

4) определить напряжения в стержнях ₁ и ₂ от совместного действия трех факторов.

Стержневая система.

Рисунок 2.8.

Дано: а=2,5м; в=1,5м; с=2,2м; А₁= 12 ·10^-4м²; А₂=30·10^-4м²; F=12·10⁴Н; l₁=10м; l₂=4м; ∆t=70⁰С; ∆=60·10^-3м.

Решение.

1. Расчет при силовом нагружении (рисунок 2.8)

Статическая сторона задачи.

Составим уравнение равновесия статики по расчетной схеме (рисунок 2.9) в форме:

:

или (2.2.1)

Расчетная схема.

Рисунок 2.9.

Геометрическая сторона задачи.

Для получения дополнительного уравнения рассмотрим перемещение балки и деформацию стержней (рисунок 2.10).

Схема перемещений.

Рисунок 2.10.

Из подобия ВСС¹ и ВДД¹ находим зависимость между перемещениями нижних концов стержней:

,

где и .

Тогда

. (2.2.2)

Физическая сторона задачи.

Используя закон Гука выразим деформации через усилия стержней:

; .

После подстановки Δl₁ и Δl₂ соотношение (2.2.2) примет вид:

или

Откуда N₂=10·N₁. Подставив это выражение в уравнение равновесия ( 2.2.1) определим значение усилия N₁:

2,5 ·N₁ + 4·10·N₁ = 6,2· F или 42,5· N₁=6,2· F.

Тогда N₁=6,2·120·10³/42,5 =17,5·10³ Н

и N₂=175·10³ Н.

Определим нормальные напряжения в стержнях от действия силы:

2. Расчет температурных напряжений.

Первый стержень нагрет на t = 70⁰C

Статическая сторона задачи.

Составим уравнение равновесия статики по расчетной схеме (рисунок 2.11) в форме:

Σ М _В=0. -N₁ · a + N₂ · ( a+в ) =0 (2.2.3)

- 2,5 · N₁+ 4·N₂ =0, тогда N₁ = 1,6 N ₂ (2.2.4)

Расчетная схема.

Рисунок 2.11.

Геометрическая сторона задачи.

Для получения дополнительного уравнения рассмотрим перемещение балки и деформацию стержней (рисунок 2.12).

Из подобия ВСС¹ и ВДД¹ получаем :

, (2.2.5)

где и .

Физическая сторона задачи:

; ; .

Схема перемещений.

Рисунок 2.12.

Подставив l₁, l₂ и l_t в (2.2.5) получим:

или .

В численных выражениях имеем:

Учитывая (2.2.4) получим: N₁= 197,6кН и N₂= 123,5кН.

Температурные напряжения равны:

3. Расчет монтажных напряжений.

Второй стержень короче проектного размера на Δ.

Статическая сторона задачи.

Составим уравнение равновесия статики по расчетной схеме (рисунок 2.13.):

Σ М _В=0. -N₁ · a + N₂ · ( a+в ) =0 (2.2.6)

-2,5 · N₁+ 4· N₂ =0, откуда N₁ = 1,6 N₂ (2.2.7)

Расчетная схема.

Рисунок 2.13.

Геометрическая сторона задачи.

Для получения дополнительного уравнения рассмотрим перемещение балки и деформацию стержней

(рисунок 2.14).

Схема перемещений.

Рисунок 2.14.

Из подобия ВСС¹ и ВДД¹ получаем:

. (2.2.8)

Здесь и .

Физическая сторона задачи:

; . (2.2.9)

Тогда (2.2.8):

или .

В численных выражениях:

·

Учитывая (2.2.7) получим: N₁= -160кН и N₂= 100кН.

Монтажные напряжения равны:

4. Определяем напряжения в стержнях от совместного действия силовой, температурой и монтажной нагрузок суммированием результатов отдельных расчетов по видам :

б₁= б^F₁ + б^t₁ + б^₁ = 14,58 +164,7 -133,33 = 45,95МПа

б₂= б^F₂ + б^t₂ + б^₂= 58,83 – 41,16 + 33,33 = 51МПа.