3. Геометрические характеристики плоских сечений

3.1. Общие сведения

Основной характеристикой поперечного сечения, отнесённого к декартовой прямоугольной системе координат Оху (рисунок 3.1), является площадь:

А =  dA, (3.1)

А

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление, на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики сечений: статический момент, осевой ( или экваториальный), полярный и центробежный моменты инерций сечений.

Плоское поперечное сечение.

Рисунок 3.1.

Статическими моментами S_Х и S_У плоской фигуры относительно осей Ох и Оу называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на расстояние до этой оси, т.е. интегралы:

S_Х =  уdA, S_У =  хdA, (3.2)

А А

Статические моменты составных сечении равны алгебраической сумме статических моментов всех частей фигуры:

S_Х = S_Х1 + S_Х2 + . . . + S_ХП; (3.3)

S_У = S_У1 + S_У2 + . . . + S_УП.

В зависимости от положения сечения относительно осей статические моменты могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Если оси проходят через центр тяжести фигуры, они называются центральными и относительно их статические моменты равны нулю:

S_Х = А·у_с= 0; S_У = А·х_с= 0 . (3.4)

Если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести находится на этой оси и его положение определяется одной координатой. При наличии двух осей симметрии центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей.

Используя статические моменты можно определить координаты центра тяжести фигуры.

Если сечение состоит из отдельных частей, положение которых известно, то координаты центра тяжести всей фигуры в исходной системе определяются по формулам:

; . (3.5)

Если в сечении имеется отверстие, то соответствующие слагаемые в этих формулах нужно взять со знаком минус.

Осевыми моментами инерции J_Х и J_У плоской фигуры относительно осей Ох и Оу называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до этой оси, т.е. интегралы:

J_Х =  у² dA, J_У =  х² dA, (3.6)

А А

Полярным моментом инерции Jр плоской фигуры относительно начала координат называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до этой точки, т.е. интеграл:

J_Р =  ² dA , (3.7)

где ²= х² +у² .

Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции относительно координатных осей, проходящих через полюс, т.е.

J_Р = J_Х + J_У. (3.8)

Центробежным моментом инерции J_ХУ плоской фигуры относительно осей Ох и Оу называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на расстояния до этих осей, т.е. интеграл:

J_ХУ =  ху dA, (3.9)

При параллельном переносе осей (рисунок 3.2) координат осевые моменты инерции и центробежный момент инерции вычисляются следующим образом:

J_Х' = J_Х + а ²·А;

J_У' = J_У + b ²·А; (3.10)

J_Х'_У'= J_ХУ + а·b·А.

Параллельный перенос осей.

Рисунок 3.2.

При повороте осей координат на угол α (рисунок 3.3.) моменты инерции вычисляются по формулам:

J_Х' = J_Х·cos²α + J_У ·sin²α - J_ХУ ·sin2α;

J_У' = J_Х·sin²α + J_У ·cos²α + J_ХУ ·sin2α; (3.11)

J_Х'_У'= J_ХУ ·cos2α + (J_Х- J_У) ·sin2α /2.

Оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными. Главные оси взаимно перпендикулярны. Осевыми моментами инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю.

Поворот осей координат.

Рисунок 3.3.

Угол наклона между главными и исходными осями вычисляется из соотношения

. (3.12)

Главные оси инерции можно провести через любую точку, взятую в плоскости сечения. Однако практическое значение для расчетов конструкции имеют лишь главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, т.е. главные центральные оси инерции. Моменты инерции относительно этих осей (главные центральные моменты инерции) в дальнейшем будем обозначать J_max и J_min.

Значения главных моментов инерции определяются по формуле

. (3.13)

Для вычисления моментов инерции сложное сечение разбивается на ряд простых частей (фигур) с таким расчетом, чтобы их геометрические характеристики можно было вычислить по известным формулам или найти по специальным справочным таблицам.

Пользуясь формулами (3.3) — (3.5), необходимо знать центробежный момент инерции фигуры, который равен нулю, если фигура имеет ось симметрии, совпадающий с осью х или у. Центробежный момент инерции уголков вычисляется по формуле

. (3.14)

при этом в зависимости от положения уголков применяется и правило знаков (рисунок 3.4.).

Осевые и центробежные моменты инерции каждой простой фигуры относительно осей ее системы координат подсчитывается по имеющимся формулам, которые приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1.

№	Фигуры	Jx	Jy	Jp
1
2
3
4
5

Правило знаков при вычислений центробежного момента инерций:

а,б- Jху>0; в,г- Jху<0. Рисунок 3.4.