Метод корреляционно-регрессионного анализа

Изучение связи между экономическими явлениями, раскрытие причинно/следственного механизма – важнейшая задача статистики. Мало определить центральную тенденцию, измерить вариацию и определить другие характеристики распределения – важно выяснить причины различий единиц совокупности, выявить и измерить влияние отдельных факторов на изучаемое явление.

Для исследования интенсивности, вида и формы причинных влияний широко применяется корреляционный и регрессионный анализ. Понятия корреляции и регрессии непосредственно связаны между собой. В то время как в корреляционном анализе оценивается сила (теснота) связи между явлениями, в регрессионном исследуется ее форма.

Термины «связь» и «зависимость» имеют различный смысл, и поэтому необходимо различать понятия «корреляционная связь» и «корреляционная зависимость». Если нам уже известно, что изменение одного явления вызвано изменениями другого, т. е. установлена причинная связь, то использование термина «корреляционная зависимость» будет обоснованным; но если это неизвестно, то необходимо употребить термин «корреляционная связь».

Экономические явления находятся в постоянной всеохватывающей объективной взаимосвязи. Наиболее общим видом связи между явлениями является стохастическая (вероятностная) связь. Она выражается в том, что с изменением одного явления меняется условный закон распределения другого явления.

Корреляционная связь является частным случаем стохастической. Корреляционной называют такую связь, при которой одному значению одного явления соответствует множество значений другого. Корреляционные связи проявляются только «в общем и среднем». По наблюдениям отдельных явлений этой связи можно и не заметить, она может даже показаться обратной той, которая проявляет себя «в общем и в среднем». Например, увеличение продолжительности рабочего времени приведет к увеличению выпуска продукции, однако за один и тот же отрезок времени отдельные работники произведут различные объемы продукции или при одинаковых дозах удобрений будут получены различные результаты урожайности сельскохозяйственных культур. Следовательно, корреляционная связь – это неполная связь между явлениями, которая проявляется при большем числе наблюдений. Существует и функциональная связь между явлениями – когда за изменением одного явления всегда следует строго определенное изменение другого. Функциональные связи всегда имеют то или иное математическое выражение (математическая функция), в то время как корреляционные могут иметь математическое выражение «в среднем», а не в каждом конкретном случае.

Для отличия от строго математической функции ее называют функцией регрессии.

Существуют различные виды корреляции и регрессии. Так, относительно числа изучаемых признаков различают следующие виды корреляции и регрессии:

1. Простая корреляция и регрессия, выражающая связь между двумя признаками. Например, между урожайностью и осадками, между производительностью труда и уровнем механизации, т. е. между результативным признаком Y и факторным признаком X. Такого рода связь можно выразить формулой: Y = f (x).

2. Множественная корреляция и регрессия, характеризующая связь между результативным признаком и несколькими факторными признаками, например связь между себестоимостью продукции и факторами, влияющими на нее (производительностью труда, концентрацией и специализацией производства и т. д.). В общем виде такая связь выражается формулой: Y_1,2... n = f (x₁, x₂, …, x_n).

В зависимости от характера связи различают следующие виды корреляции и регрессии.

3. Положительная корреляция и регрессия – если связь между изучаемыми явлениями прямая, т. е. с увеличением факторного признака растет и результативный (в среднем). Например, связь между производительностью труда с уровнем механизации.

4. Отрицательная корреляция и регрессия – если с ростом значений факторного признака результативный признак в среднем уменьшается. Например, связь между стоимостью продукции и получаемой предприятием прибылью. Однако это различие касается только простой регрессии и корреляции. Если же она множественная, то на результативный признак влияет множество факторов различного направления и невозможно четко определить окончательно ее направление.

Относительно формы связи различают следующие виды.

1. Линейная – когда связи между изучаемыми явлениями носят линейный характер и выражены линейной функцией. Уравнение регрессии имеет вид:

2. Криволинейная корреляция и регрессия – когда между исследуемыми явлениями существуют нелинейные соотношения и связь выражается нелинейной функцией.

Процесс нахождения теоретической линии регрессии заключается в выборе и обосновании типа кривой, в расчете параметров ее уравнения. Для выбора и обоснования типа линии нет универсального метода. Существует несколько путей решения задачи: теоретический, эмпирический, а также опыт предыдущих исследований.

Определить тип уравнения регрессии можно, исследуя зависимость графически, однако существуют и другие приемы, позволяющие выявить тип уравнения связи. Так, если результативный и факторный признаки возрастают примерно одинаково, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная; если же один признак увеличивается, а другой неравномерно уменьшается, – связь гиперболическая. Если с увеличением значений фактора результативный признак сначала растет, а потом снижается, то связь параболическая, и т. д.

Задача заключается в том, чтобы найти такие коэффициенты уравнения регрессии, чтобы ошибка была минимальной. Это достигается путем применения метода наименьших квадратов. Для нахождения значений неизвестных параметров приравняем частные производные по этим параметрам к нулю и после простейших преобразований получим систему уравнений.

Пусть связь между результатом и фактором выражается уравнением параболы второго порядка:

Y = a + b₁ x+b₂ x², (1.36)

Миниминизируя сумму квадратов отклонений переменной от ее значений по уравнению, получим:

Для этого берутся частные производные Q по параметрам «а» и «b», которые приравниваются к нулю, и полученная система уравнений решается относительно параметров:

Проделав простейшие преобразования, получим систему из трех уравнений:

Далее задача сводится к решению этой системы нормальных уравнений.

Применим этот метод для определения степени влияния сроков посева на урожайность. Для расчетов используем табл. 12, из которой возьмем следующие данные: сроки посева и средние значения урожайности для каждого срока посева.

Таблица 12

Порядковые номера сроков посева можно рассматривать как кодированные значения Х. Причем

Средняя урожайность представлена таблицей значений:

Y₁ = 16; Y₂ = 18; Y₃ = 18; Y₄ = 17; Y₅ = 15;

Теперь задача сводится к построению зависимости: Y = f(x).

Исходные данные для расчета зависимости Y = f(x) представлены в табл. 13.

Из табл. 13 видно, что с изменением сроков посева средняя урожайность сначала растет, а затем падает. Следовательно, существуют оптимальные сроки посева, при которых средняя урожайность максимальна.

Подобный процесс целесообразно описать уравнением параболы 2/го порядка:

Таблица 13

Y = a + b₁x + b₂ x²,

где a, b₁, b₂ – параметры, подлежащие определению.

Для нахождения параметров a, b₁ и b₂ необходимо решить систему нормальных уравнений.

Известно, что экстремальные точки функции Y = f (x) определяются из условия Y = f (x), где Y' – первая производная функции Y по переменной x.

Для выбранного вида функции:

Y = (a + b₁x + b₂ x²) = b₁ + 2b₂ x.

Откуда

Подставляя из табл. 13 значения (X_i Y) в систему нормальных уравнений, получим:

5a + 15b₁ + 55b– = 84;

15a + 55b₁ + 225b₂ = 249; (I)

55a + 225b₁ + 979b₂ = 897.

Система решается следующим образом:

1. Все уравнения делятся на коэффициенты при «а»:

a + 3b₁ + 11b₂ = 16,8;

a + 3,67b₁ + 15b₂ = 16,8;

a + 4,09b₁ + 17,8b₂ = 16,3.

2. Из первого уравнения вычитается сначала 2/е, а затем 3/е. В результате получается система уравнений с двумя неизвестными:

– 0,67b₁, – 4b₂ = +0,2; (II)

– 1,09b₁ – 6,8b₂ = +0,5.

3. Повторяем процедуру 1 и 2 и получаем:

0,24b₂ = -0,16,

откуда b₂ = -0,64.

Подставляя в любые уравнения системы II, например в первое, значение: b₂ = -0,64, найдем b₁ = +3,54.

Из первого уравнения системы I находим:

a = 13,22.

Таким образом, уравнение, выражающее связь сроков посевов с урожайностью, будет иметь вид:

Y = 13,22 + 3,54x – 0,64x²

Оптимальный срок посева будет равен х_опт = 2,8, что соответствует периоду с 10 по 20 мая.

Существует много методов решения системы нормальных уравнений, в частности, целесообразно решать систему нормальных уравнений обычными методами линейной алгебры.

До сих пор речь шла о том, что на результативный признак действует один факторный признак, и в зависимости от этого мы строили все свои расчеты. На самом деле все обстоит гораздо сложнее. На результативный признак действует множество случайных факторов, и перед нами возникает новая задача – найти модель наблюдаемого процесса, адекватно отражающую сам процесс, определить, как и в какой степени на результаты наблюдения воздействуют выбранные факторы. Эта задача чрезвычайно важна, так как именно она позволяет правильно оценить с определенной заданной вероятностью место и роль наблюдаемого явления в решении конкретных народно-хозяйственных задач.

Наиболее часто на практике наблюдаемый процесс описывается линейной многофакторной моделью:

Y = a + b₁x₁ + b₂ х₂ +… + b_kx_k, (1.37)

гдеx₁x₂ … x_k – значения факторов; a, b₁, b₂, b_k – параметры модели.

Что же такое модель? Как ее объяснить? Обычно стараются для наглядности все процессы интерпретировать геометрически. Попробуем подойти к многофакторной модели именно с такой позиции.

Совершенно очевидно, что однофакторный процесс является частным случаем многофакторного уравнения. Модели Y = f (?) представляют собой множество кривых различного рода на плоскости. Если рассматривать модель вида Y = a + bx, то это будет множество прямых на плоскости. Внося в рассмотрение еще один фактор, мы получаем уравнение вида Y = f (x₁, x₂) или для линейной модели: Y = a + b₁x₁ + b₂x₂. Это уже будет множество положений плоскости в трехмерном пространстве. Для трех факторов мы уже не можем дать геометрического толкования модели. Однако в целях обобщения можно считать, что линейная модель Y = a + b₁ x₁ + b₂x₂ +...b_kx_k представляет собой «гиперплоскость» в (k + 1) – мерном пространстве.

Рекомендуется всегда предварительно изучить форму и степень связи между результативным и всеми выбранными факторами попарно. Если все попарные связи линейны или близки к линейным, то есть все основания полагать, что и множественная связь будет линейной.

Схема корреляционно-регрессионного анализа подразумевает следующие шаги:

1. определение связи между изучаемыми признаками;

2. формирование уравнения регрессии;

3. расчет показателей связи.

Чтобы отобрать факторы, оказывающие существенное влияние на результативный признак, необходимо произвести группировку по нему. Из всех факторов необходимо отобрать те, которые наиболее связаны с результативным признаком.

Так, например, при изучении влияния основных экономических факторов на себестоимость молока необходимо произвести группировку хозяйств по себестоимости 1 ц молока, взяв в качестве факторных признаков:

1. уровень кормления;

2. стоимость 1 ц кормовых единиц (корм. ед.);

3. уровень оплаты труда;

4. уровень специализации хозяйств на производстве молока и т. п.

Для установления формы связи необходимо построить графики попарной зависимости выбранных факторов с результативным признаком (в нашем случае это себестоимость). В случае прямолинейной зависимости или близкой к таковой между всеми факторами и результатом следует использовать уравнение регрессии линейного типа:

Y=a+b₁x₁ + b₂ x₂ + „. + b_kx_k,

где x₁ x₂ … x_k – выбранные факторы; b₁ b₂ … b_k – коэффициенты регрессии, определяющие степень среднего изменения значений зависимой переменной Y при изменении фактора на единицу, но при условии, что остальные факторы, включенные в уравнение, остаются постоянными.