Тема 10 показатели вариации

Основными показателями, характеризующими вариацию, является размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Простейшим показателем, уже использованным выше при группировке данных, является размах вариации. Он представляет собой разность максимального и минимального значений признака:

Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колебания внутри этих границ. Этого недостатка лишена дисперсия, рассчитываемая как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины. Как и средняя величина, дисперсия может рассчитываться по-разному. Невзвешенная формула:

Взвешенная формула используется в тех случаях, когда варианты значений изучаемого признака повторяются:

Дисперсию в отдельных случаях удобнее рассчитывать по другой формуле, представляющей собой алгебраическое преобразование приведенных выше выражений:

, где или

Другим наиболее широко распространенным показателем является среднее квадратическое отклонение. Оно определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размерность, что и изучаемый признак.

Невзвешенная формула:

Взвешенная формула:

Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации, т.е. оценивать ее в единицах измерения исследуемого признака. В отличие от них, коэффициент вариации измеряет относительную колеблемость (относительно среднего уровня), что во многих случаях предпочтительнее:

Если V не превышает 33%, то совокупность по рассматриваемому признаку можно считать однородной.

Показатели вариации также являются составной частью или служат основой для расчетов других статистических показателей. Они используются в анализе взаимосвязей между признаками, в измерении структурных сдвигов в экономике, в оценке рисков.

Задача.

По данным распределения возраста студентов определите размах и среднее квадратическое отклонение.

Группы студентов по возрасту x	Число студентов		²	²
17	10	3,7	13,69	136,9	170	37
18	70	2,7	7,29	510,3	1260	189
19	80	1,7	2,89	231,2	1520	136
20	100	0,7	0,49	49	2000	70
21	120	0,3	0,09	10,8	2520	36
22	160	1,3	1,69	270,4	3520	208
23	90	2,3	5,29	476,1	2070	207
Итого	630	-	-	1684,7	13060	883