6. Равновесие системы сил, линии действия которых лежат в одной плоскости

Во многих практически интересных случаях тело находится в равновесии под действием системы сил, линии действия которых расположены в одной плоскости. Примем эту плоскость за координатную . Ни одна из сил такой системы не дает проекции на координатную ось и не имеет момента относительно осей и . В условиях равновесия произвольной системы сил (5.2) в рассматриваемом случае остается только три значащих уравнения:

(3.11)

Рис.3.2

где – произвольно выбранная точка плоскости . При этом для вычисления момента силы относительно оси применимо простое правило:

где — плечо силы, равное кратчайшему расстоянию от точки до линии действия силы (Рис.5.1); знак "+" соответствует повороту силы вокруг оси против хода часовой стрелки.

При решении задач об определении опорных реакций может оказаться, что из составленных условий равновесия невозможно определить все неизвестные величины, так как их число больше числа уравнений, в которые эти неизвестные входят. Подобное может произойти по двум основным причинам.

Во–первых, на рассматриваемое тело могут быть наложены лишние связи, ненужные для обеспечения равновесия абсолютно твердого тела, но необходимые для предотвращения недопустимо больших деформаций. В этом случае задача определения реакций опор является статически неопределимой в том смысле, что невозможно определить реакции связей без учета деформаций тела, т.е. оставаясь в рамках модели абсолютно твердого тела. Такие задачи в теоретической механике не рассматриваются.

Во–вторых, в качестве тела, равновесие которого рассматривается, может быть выбрана конструкция, состоящая из двух или более тел, соединенных между собой внутренними связями. На такую конструкцию заведомо приходится накладывать дополнительные связи, обеспечивающие равновесие конструкции. Основная особенность решения таких задач состоит в том, что необходимо рассматривать равновесие нескольких тел данной конструкции.

7. Расчет ферм

Особое место в ряду статических задач занимает расчет ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней (Рис.3.3). Если все стержни фермы и вся приложенная к ней нагрузка расположены в одной плоскости, ферма называется плоской. В дальнейшем будем рассматривать только плоские фермы. Соединения стержней называются узлами фермы.

Рис.3.3

В результате полного расчета фермы необходимо определить реакции опор и усилия во всех стержнях фермы.

При расчете ферм приложенную внешнюю нагрузку (включая весовую нагрузку) заменяют эквивалентной системой, силы которой приложены к узлам фермы. В реальных фермах соединения стержней, как правило, жесткие (заделка, сварка, клепка и т.д.), так что они не допускают относительного поворота стержней. В расчетной схеме крепления стержней считаются шарнирными, причем, трение в шарнирах считается пренебрежимо малым.

В результате сделанных упрощающих предположений оказывается, что каждый стержень находится в равновесии под действием двух сил, приложенных к его концам. Эти силы должны иметь общую линию действия, т.е. они направлены вдоль стержня. Таким образом, считается, что каждый стержень фермы работает или на растяжение, или на сжатие, но не может испытывать кручения или изгиба. Усилие в стержне считается положительным, если он растянут.

Метод вырезания узлов. Этот метод имеет смысл использовать, если необходимо определить усилия во всех стержнях фермы. Метод состоит в том, что рассматривается равновесие узлов фермы в определенной последовательности. На узел действует плоская система сходящихся сил, для которой можно составить два уравнения равновесия, что позволяет определить две неизвестные. Поэтому расчет начинают с узла, соединяющего два стержня фермы. Затем переходят к соседним узлам в определенной последовательности, которая позволяет на каждом шаге определять усилия в очередных двух стержнях. Первоначально предполагается, что стержни растянуты, т.е. их реакции на узлы направлены от узлов. Если усилие в каком–либо стержне оказывается отрицательным, то это означает, что данный стержень сжат.

Заметим, что уравнения равновесия фермы в целом являются прямым следствием полной системы уравнений равновесия узлов, так что методом вырезания узлов можно определить, в том числе, и реакции опор фермы. Но в этом случае приходится совместно решать систему из уравнений ( – число узлов). Предварительное определение реакций опор упрощает решение задачи, а неиспользованные уравнения равновесия узлов можно рассматривать как проверочные.

Метод сквозных сечений (метод Риттера). Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферма разделяется сечением на две части и рассматривается равновесие одной из этих частей. Сечение проводится по трем стержням фермы, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилие. Действие отброшенной части фермы заменяют соответствующими реакциями, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т.е. считая стержни растянутыми (как и в методе вырезания узлов). Условия равновесия составляются так, чтобы в каждое уравнение входила только одна неизвестная величина.

Условие жесткости фермы. Найдем минимальное число стержней , которое необходимо для образования плоской фермы, имеющей узлов. Простейшая ячейка фермы (треугольник) имеет три стержня и три узла. Для присоединения каждого из оставшихся узлов необходимо два стержня. Таким образом, условие жесткости фермы имеет вид:

Условие статической определимости фермы. Ферма является статически определимой, если число неизвестных совпадает с числом независимых уравнений равновесия, в которые этим неизвестные входят. Для плоской фермы, имеющей узлов, можно составить уравнений равновесия, три из которых расходуются на определение трех составляющих реакций опор. Для определения усилий в стержнях фермы остается уравнения. Таким образом, условие статической определимости фермы совпадает с условием ее жесткости.