Общее уравнение динамики
Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек, на которую наложены идеальные удерживающие связи. Уравнения движения точек имеют вид:
где
– равнодействующая всех активных сил, действующих на точку с номером ;
– равнодействующая реакций связей, наложенных на точку с номером .
При фиксированном времени дадим точкам системы возможные перемещения. Умножим каждое из уравнений движения скалярно на соответствующее возможное перемещение и сложим все полученные уравнения:
Поскольку по условию связи идеальные (7.1), последняя сумма равна нулю и, следовательно,
(8.6)
Уравнение (8.6) называется общим уравнением динамики.
При использовании общего уравнения динамики удобно вводить в рассмотрение силы инерции. В этом случае уравнение (8.6) принимает вид:
(8.7)
Равенство (8.7) составляет содержание так называемого принципа Лагранжа–Даламбера:
в каждый момент времени для механической системы с идеальными удерживающими связями сумма работ всех активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.
Пример
Призма массы
может скользить по идеально гладкой
горизонтальной поверхности. В вершине
призмы закреплена ось барабана лебедки.
Конец троса прикреплен к оси катка,
который катится без скольжения по
боковой поверхности призмы. Барабан
лебедки и каток — сплошные однородные
цилиндры одинаковой массы
и одинакового радиуса
.
К барабану лебедки приложен постоянный
вращающий момент
.
Составить дифференциальные уравнения
движения системы.
|
|
Рис.8.3 |
Система имеет две степени свободы.
В качестве независимых координат примем
координату призмы
и относительную координату оси катка
.
Кинематические условия, налагаемые
связями, имеют вид:
Отсюда:
и 
Учитывая, что
получаем общее уравнение динамики в виде:
Поскольку возможные перемещения
и
могут принимать любые значения и не
зависят друг от друга, общее уравнение
динамики распадается на систему двух
дифференциальных уравнений относительно
координат
и
:
