1. Дифференциальные уравнения движения механической системы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек. Для каждой точки системы в инерциальной системе отсчета справедлив второй закон Ньютона:

(3.1)

где

– масса точки с номером ;

– ее радиус–вектор;

– равнодействующая всех внешних сил как активных, так и реакций связей, действующих на точку с номером ;

– равнодействующая всех внутренних сил, действующих на точку с номером .

Систему уравнений (3.1) называют системой дифференциальных уравнений движения точек механической системы. Одна из основных задач механики состоит в том, чтобы, зная активные силы и связи, наложенные на систему, определить движение всех точек системы и определить реакции связей. Решение такой задачи связано с интегрированием системы уравнений (3.1) при заданных начальных условиях. Однако, прямое интегрирование системы (3.1) весьма сложно, что связано как с возможно большим числом этих уравнений, так и, в основном, с неопределенностью информации о внутренних силах.

Во многих практически интересных случаях нет необходимости определять все интегралы системы (3.1), достаточно получить лишь некоторые из них. Это позволяют сделать общие теоремы динамики. Являясь прямым следствием уравнений (3.1), общие теоремы динамики связывают основные динамические величины, характеризующие движение системы, с приложенными к ней внешними силами.

2. Основные свойства внутренних сил

Рассмотрим две любые точки механической системы и . В соответствии с третьим законом Ньютона они взаимодействуют с силами, равными по модулю и действующими по одной прямой в противоположные стороны (Рис.3.1). При этом

Рис.3.1

или

Внутренние силы действуют попарно, поэтому

сумма всех внутренних сил механической системы равна нулю:

(3.2)

Найдем сумму моментов сил и относительно произвольно выбранной точки . Как следует из определения, моменты этих сил противоположны по направлению и равны по модулю. Следовательно, их сумма равна нулю. Учитывая, что внутренние силы всегда действуют попарно, получаем второе основное свойство внутренних сил:

(3.3)

т.е. сумма моментов всех внутренних сил механической системы относительно произвольно выбранного центра равна нулю.

3. Теорема об изменении количества движения механической системы

Сложим почленно все равенства (3.1):

Учитывая первое основное свойство внутренних сил (3.2), получаем:

(3.4)

Преобразуем левую часть равенства (3.4). Учитывая, что масса точки считается постоянной и что получаем:

Произведение массы точки на вектор ее скорости называется количеством движения материальной точки.

Количеством движения механической системы называется сумма количеств движения всех ее точек :

(3.5)

Равенство (3.4) принимает вид:

(3.6)

Доказана теорема об изменении количества движения механической системы:

производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме всех приложенных к системе внешних сил.