Работа внутренних сил геометрически неизменяемой механической системы
Заметим, что в отличие от теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента в теорему об изменении кинетической энергии в общем случае входят внутренние силы.
Особый случай представляет геометрически неизменяемая механическая система, в частности, абсолютно твердое тело.
Скорости двух любых точек и геометрически неизменяемой механической системы связаны известным кинематическим соотношением:
причём
Эти две точки взаимодействуют с силами равными по модулю и направленными по одной прямой в противоположные стороны:
Заметим, что для механической системы эти силы являются внутренними.
Вычислим суммарную мощность этих двух сил:
т.к.
Поскольку внутренние силы действуют попарно, получаем, что суммарная мощность, а следовательно, и суммарная работа всех внутренних сил геометрически неизменяемой механической системы равна нулю при любых ее перемещениях.
Для геометрически неизменяемой механической системы теорема об изменении кинетической энергии является прямым следствием теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента. Тем не менее, ее использование часто оказывается удобным, особенно в тех случаях, когда необходимо определить зависимость каких–либо скоростей от перемещения, совершенного системой. Для геометрически изменяемой механической системы теорема об изменении кинетической энергии носит независимый характер.
Вычисление кинетической энергии абсолютно твердого тела
Получим формулы для вычисления кинетической энергии абсолютно твердого тела при некоторых его движениях.
1. При поступательном движении в
любой момент времени скорости всех
точек тела одинаковые. Полагая в формуле
(6.1)
получаем:
(6.10)
где
– скорость центра масс тела.
2. При вращении скорости точек тела
пропорциональны расстояниям от точек
до оси вращения. Полагая в формуле (6.1)
получаем:
(6.11)
где
– момент инерции тела относительно оси
вращения.
3. При плоскопараллельном движении тело по отношению к системе Кёнига совершает вращение вокруг оси . Для скорости любой точки тела получаем:
причём,
где – расстояние от точки с номером до оси , проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости движения.
Таким образом,
(6.12)
где
– момент инерции тела относительно оси
Работа внешних сил, приложенных к абсолютно твердому телу
В разделе "Кинематика" установлено, что скорость любой точки твердого тела геометрически складывается из скорости точки, принятой за полюс, и скорости, полученной точкой при сферическом движении тела вокруг полюса. В динамике за полюс всегда принимают центр масс тела. Скорость любой точки тела определяется по формуле
где
– скорость центра масс тела;
– вектор мгновенной угловой скорости
тела;
– радиус-вектор по отношению к центру масс тела.
Для мощности силы, приложенной к абсолютно твердому телу, получаем:
Особый интерес представляет плоскопараллельное движение твердого тела. В этом важном частном случае мощность силы может быть вычислена по формуле:
где
– угол между векторами силы и скорости
центра масс тела.