7. Естественный способ задания движения точки

Рис.1.6

Пусть траектория точки заранее известна. Рассматривая траекторию как криволинейную координатную ось, примем любую точку траектории за начало отсчета и установим положительное и отрицательное направления отсчета. Положение точки однозначно определяется дуговой координатой, которая равна взятой с соответствующим знаком длине дуги траектории, отделяющей в данный момент времени точку от начала отсчета (Рис.1.6). Движение точки будет задано, если задана зависимость дуговой координаты от времени: Описанный способ задания движения называется естественным.

1.8. Естественный трехгранник

Пусть точка движется по траектории , на которой установлена криволинейная система отсчета (Рис.1.7).

Рис.1.7

В любой точке траектории существует единственная касательная. Обозначим единичный вектор касательной; направлен в сторону возрастания дуговой координаты. Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. Обозначим единичный вектор главной нормали; направлен в сторону вогнутости траектории. Нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Её единичный вектор направлен так, чтобы векторы и образовывали правую тройку.

Соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая плоскости образуют естественный трехгранник. Касательная, главная нормаль и бинормаль – оси естественного трехгранника; – орты этих осей.

Оси естественного трехгранника играют существенную роль в описании движения точки, поскольку в этих осях вектор скорости и вектор ускорения вычисляются, как будет показано ниже, наиболее удобным образом. Пока отметим только, что разложение этих векторов по осям естественного трехгранника имеет вид:

(1.8)

(1.9)

где

– проекция вектора скорости на направление касательной к траектории;

– проекция вектора ускорения на направление касательной к траектории, которая называется касательным ускорением точки;

– проекция вектора ускорения точки на направление главной нормали к траектории точки, которая называется нормальным ускорением точки.

Оставляя доказательство для самостоятельного изучения, приведём окончательные результаты.

Для вектора скорости получаем:

(1.10)

Таким образом,

проекция вектора скорости на направление касательной к траектории точки равна первой производной по времени от дуговой координаты:

(1.12)

Для вектора ускорения получаем:

(1.13)

Следовательно, касательное и нормальное ускорения точки определяются по формулам:

(1.14)

Здесь – радиус кривизны траектории в данной точке.

Ускорение точки характеризует изменение вектора скорости. В общем случае вектор скорости может изменять свой модуль и свое направление.

Рассмотрим движение, при котором вектор скорости может изменять свое направление (траектория точки – любая кривая), но модуль скорости остается при этом постоянным. Такое движение называется равномерным. Как видно из формул (1.14) касательное ускорение в этом случае равно нулю. При неравномерном движении касательное ускорение обращается в нуль только в те моменты времени, когда модуль скорости достигает экстремальных значений. Таким образом, касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости точки.