Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости
Для решения задач по аналитической геометрии нам понадобятся следующие формулы:
1.
Расстояние d
между точками
и
на
плоскости:
(1)
2. Деление отрезка в данном отношении.
Даны
точки
и
Координаты
точки
делящей отрезок АВ
в отношении
определяется по формулам:
В
частности, при делении отрезка пополам
(
)
(2)
3. Все виды уравнений прямой.
а) уравнение прямой с угловым коэффициентом:
(3а),
где k – угловой коэффициент, b – отрезок на оси Оy, прямая не параллельна оси Оу.
б) уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:
(3б),
где k
- угловой коэффициент,
–
координаты точки, лежащей на прямой,
прямая не параллельна оси Оу.
в) уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
=
(3в)
и
–
координаты данных точек, прямая не
параллельна осям Ох
и Оу;
г) уравнение прямой в отрезках:
(3г)
а – отрезок на Ох, b – отрезок на Оу, прямая не проходит через начало координат;
д) уравнение прямой, параллельной оси Оу:
х = а (3д)
где а – отрезок на Ох;
е) уравнение прямой, параллельной оси Оу:
у = b (3е),
где b – отрезок на Оу;
ж) общее уравнение прямой:
Ах + Ву + С = 0 (3ж)
А и В не равны нулю одновременно.
4.
Угол
φ, отсчитанный против часовой стрелки
от прямой
до прямой
определяется формулой:
(4)
а)
Условие параллельности:
б)
Условие перпендикулярности: k2
=
5. Чтобы найти точку пересечения непараллельных прямых
А1x + B1y + С1= 0 и A2x + B2y + С2 = 0, нужно решить совместно их уравнения.
Задача 1: Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4,3); В(16,-6); С(20,16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение СD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ; 6) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.
Решение: 1) Применяя (1), находим длину стороны
AB
=
=
=
=15
2) Подставляя в (3,в) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:
=
;
=
;
=
4у – 12 = – 3х + 12; 3х + 4у – 24 = 0 (АВ)
Решая
последнее уравнение относительно у,
получим уравнение стороны АВ как
уравнение прямой с угловым коэффициентом:
4у = – Зх + 24, у
=
х
+ 6, kAB
= –3/4
Подставив в (3в)
координаты точек В и С, получим уравнение
прямой ВС:
=
;
=
;
=
11х
– 2у – 188 = 0 (ВС) или у =
х
– 94, откуда kBC
=
11/2 , найдены: kАВ
=
–3/4; kBC
= 11/2.
3) Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых
tgB
=
=
=
= 2
Применяя (4), получим В = 63°26 или В = 1,11 рад.
4) Высота СD перпендикулярна стороне АВ.
Чтобы найти угловой коэффициент высоты СD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как kAB = –3/4, то kCD = 4/3.
Подставив в (3б) координаты точки С и найденный угловой коэффициент 4/3 высоты, получим
(у – 16) = (4/3) (х – 20); 3у – 48 = 4х – 80; 4х – 3у – 32 = 0 (СD).
Чтобы найти длину высоты СD, определим координаты точки D – точки пересечения прямых АВ и СD.
Решая систему
,
находим х = 8, у = 0, т.е. D(8,
0).
По формуле (1)
находим длину СD:
СD
=
= 20
5) Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим координаты точки Е, которая является серединой отрезка ВС. Воспользуемся формулами деления отрезка пополам (2). Следовательно:
xE
=
= 18; yE
=
= 5; E(18,5)
Подставив (3в) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:
=
;
=
;
x
– 7y
+ 17 = 0 (AE)
6) Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то её угловой коэффициент равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (3б) координаты точки С и угловой коэффициент k = –3/4, получим у–16 = (–3/4) (х – 20), 4у – 64 = –3х + 60, 3х + 4у – 124 = 0 (СL)
