Тема 9. Элементарные сведения из теории корреляции

На практике часто приходится иметь дело с зависимостью между переменными более сложной, чем функциональная. Такова, например, зависимость между количеством внесённых удобрений X и собранным урожаем Y. Здесь каждому значению X соответствует множество возможных значений величины Y (осадки, почвы, уход). Вместе с тем, как показывает опыт, средний урожай является функцией от количества удобрений. Подобного рода зависимость относится к корреляционным. Обычно корреляционную зависимость между случайными величинами оценивают, определяя выборочный коэффициент корреляции (он характеризует тесноту зависимости между случайными величинами) и находя выборочные уравнения прямых регрессии (они показывают, как в среднем одна величина зависит от другой).

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1. величина его по модулю не превосходит единицы, т.е.

– 1 < r_B < 1;

1. если r_B = 1, то зависимость между X и Y является обычной функциональной зависимостью;

2. если r_B = 0, то линейной корреляции между X и Y нет;

2. если 0 < r_B < 1, то между X и Y существует корреляционная зависимость. При этом связь между переменными тем теснее, чем ближе r_B к единице.

| r_B | < 0,3 – связь слабая,

0,3 < | r_B | < 0,7 - связь средняя,

| r_B | > 0,7 – связь сильная.

Задача.

Были произведены измерения общей длины ствола в см (X) и длины его части без ветвей (Y) 10 молодых сосен. Результаты этого измерения представлены в следующей таблице:

X	25	35	45 55	55	65	75	85	95	105	115
Y	14	18	19	20	23	23	24	26	29	34

Вычислить выборочный коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

Решение.

Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле

Для вычисления величин, входящих в формулу, составим вспомогательную таблицу, в которой результаты измерений записаны столбцами. Внизу каждого из этих столбцов вычислены суммы для нахождения средних х_в и у_в. Далее расположены столбцы, в которых вычисляются разности х_i – х_в и у_i – у_в, их квадраты и произведения. Значения этих столбцов суммируются, чтобы получить величины, необходимые для подстановки в формулу. Отметим, что суммы в столбцах, в которых вычислены разности х_i – х_в и у_i – у_в будут всегда равны 0.

xi	yi	xi – xB	(xi – xB)2	yi – yB	(yi – yB)2	(xi – xB) (yi – yB)
25	14	45	2025	–9	81	405
35	18	35	1225	–5	25	175
45	19	25	625	–4	16	100
55	20	15	225	–3	9	45
65	23	-5	25	0	0	0
75	23	5	25	0	0	0
85	24	15	225	1	1	15
95	26	25	625	3	9	75
105	29	35	1225	6	36	210
115	34	45	2025	11	121	495
700	230	0	8250	0	298	1520

Находим средние х_B и у_B:

Из таблицы имеем:

Подставляя эти значения в формулу для вычисления коэффициента корреляции, получим

Вывод:

Таким образом, у выбранных сосен имеет место очень сильная корреляция между общей длиной ствола и длиной его части без ветвей.

Найдём теперь выборочное уравнение прямой регрессии Y на X. Это уравнение имеет вид:

за приближённые значения σ_x и σ_y принимают соответственно

Тогда

Подставляя в выборочное уравнение прямой регрессии Y на X

получим у – 23 = 0,97·0,19(х – 70) или у – 23 = 0,18х – 12,6.

Вывод:

у = 0,18х + 10,4 – искомое уравнение прямой регрессии Y на X.