Случайные величины. Законы их распределения

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное числовое значение, причем заранее не известно, какое именно. Примеры случайных величин:

1. годовой удой от одной коровы в литрах;

2. число яиц, полученных от одной несушки за год;

3. число растений ржи на 1 м²;

4. глубина заделки семян при посеве.

Дискретной называется случайная величина, значения которой изолированы друг от друга, и их можно пронумеровать. При этом число значений может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называется случайная величина, значения которой сплошь заполняют некоторый интервал, конечный или бесконечный.

Законом распределения дискретной случайной величины X называется соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями этих значений.

Закон распределения чаще всего записывают в виде таблицы из двух строк. В верхней строке перечисляются значения, которые принимает случайная величина, а в нижней - вероятности этих значений, т.е.

X	x1	х2	. . .	xn
P	p1	p2	…	pn

p_i = Р(Х = х_i) ≥ 0;i = 1,2... n.

Заметим, что всегда р₁ + р₂ + ... + р_i = 1.

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки М₁(x₁, p₁), М₂(х₂, р₂) ... М_n(х_n, р_n) и соединяют их отрезками прямой. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:

М(Х) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n =

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

D(Х) = М(Х – М(Х))² или

D(Х) = М(х))² р,

Справедлива и другая формула: D(Х) = М(Х²) – М²(Х)

Дисперсия характеризует рассеяние возможных значений случайной величины вокруг своего математического ожидания, мерой такого рассеяния является среднее квадратическое отклонение, равное корню квадратному из дисперсии, т.е.

Пример 5.

Найти математическое ожидание числа заболевших животных в выборке из 5 животных, случайная величина X (число заболевших животных), задана рядом распределения.

X	0	1	2	3	4	5
P	0,2373	0,3955	0,2637	0,0879	0,0146	0,001

Решение.

По формуле М(Х) = находим

М(Х) = 0·0,2373 + 1·0,3955 + 2·0,2637 + 3·0,0879 + 4·0,0146 + 5·0,001 = 1,25.

Законы распределения непрерывной случайной величины

Функцией распределения или интегральным законом распределения называют функцию F(х), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньше х, т.е. F(х) = Р(Х < х).

Плотностью распределения вероятностей или дифференциальной функцией распределения f(х) называется первая производная от функции распределения: f(х) = F^I(х).

Если на формирование величин влияет большое число факторов, влияние каждого из них мало и ни один фактор не имеет значительного преимущества перед другими, то эти величины можно отнести к величинам, имеющим нормальный закон распределения, полагая, что их возможные значения неотрицательны.

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид:

,

где σ - среднее квадратическое отклонение,

а - математическое ожидание случайной величины X.

Для случайной величины X, распределенной по нормальному закону, вероятность попадания ее значений в интервал (α, β) вычисляется по формуле

,

где Ф(х) – функция Лапласа.

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания менее чем на 5 равна: .

Правило трех сигм. Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения с вероятностью 0,9973.

Задача. Средняя масса годовалого осетра 230 г, среднее квадратичное отклонение 5 г. Полагая, что случайная величина X, равная массе годовалого осетра, распределена нормально, найти:

1. вероятность того, что масса наудачу выловленного осетра будет заключена в пределах от 220 г до 240 г;

2. вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания окажется меньше 3 г;

3. по правилу трех сигм найти наименьшую и наибольшую границы предполагаемой массы годовалого осетра.

Решение.

В соответствии с принятыми обозначениями (см. формулу выше): а = 230 (г), σ = 5 (г), β = 240 (г) и δ = 3(г). Тогда

1)Р(220 < х < 240) = = Ф(2) – Ф(2) = 2Ф(2) = 0,9544

2) Р( |Х – 230| < 3) = = 2Ф(0,6) = 2 – 0,2257 = 0,4514.

3) 3·σ = 3·5 = 15 (г).

Значит наибольшая и наименьшая границы будут 230 ± 15 (г). То есть масса годовалого осетра заключена в интервале от 215 г до 245 г с вероятностью 0,997 ≈ 1,0.