Тема 4. Теория вероятностей

1. Основы комбинаторики

Факториалом целого положительного числа n (обозначается n!) называется произведение 1·2·3·...·n = n! По определению 0!=1.

Основной закон комбинаторики. Пусть нужно произвести k действий, причем первое действие можно произвести n₁ способами, второе – n₂ способами, ... k-ое – n_k способами. Тогда все действия можно произвести n₁ · n₂ ·... · n_k способами.

Перестановкой из n элементов называется набор из n элементов, расположенных в определенном порядке. Число всех перестановок из n элементов равно: Р_n = n!

Размещением из n элементов по k элементов называется набор из к элементов, выбранных из данных n элементов в определенном порядке, т.е. два различных размещения отличаются либо составом элементов, либо (при одинаковом составе) порядком элементов.

Число всех размещений из n элементов по к элементов равно:

A_n^k =

Сочетанием из n элементов по k элементов называется набор из k элементов, выбранных из данных n элементов в произвольном порядке, т.е. два различных сочетания отличаются только составом элементов.

Число всех сочетаний из n элементов по к элементов равно:

С_n^k =

Основное свойство сочетаний: С_n^k = С_n^n-k

2. Основные понятия теории вероятностей

Испытанием называется осуществление ряда условий, при которых производится наблюдение.

Событие - это результат испытания.

Элементарными событиями (исходами) называются возможные, исключающие друг друга, результаты одного испытания.

Событие называется достоверным, если при испытании оно обязательно произойдет.

Событие называется невозможным, если при испытании оно не может произойти.

Событие называется случайным, если при испытании оно может либо произойти, либо не произойти.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием. Единственно возможные события попарно несовместны.

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Полной группой называется совокупность единственно возможных событий испытания.

Событие , которое состоит в том, что событие А не происходит, называется противоположным событию А. Очевидно, события А и образуют полную группу событий.

3. Вероятность события. Свойства вероятности

Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятных исходов к общему числу n всех элементарных равновозможных исходов. Вероятность события А обозначается Р(А).

Тогда, Р(А) =

1. Р(А) = 0, если А – событие невозможное;

2. Р(В) = 1, если В – событие достоверное;

3. 0 < Р(С) < 1, если С - случайное событие;

4. Р(А+В) = Р(А) + Р(В), если А и В несовместные события;

5. Р(А) = 1 – Р(А)

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из них: С = А + В.

Произведением событий А и В называется событие С = А·В, состоящее в совместном появлении этих событий.

Условной вероятностью Р(В/А) ((Р_A(В)) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло. События А и В называются независимыми, если вероятность события А не зависит от того, произошло или не произошло событие В, т.е. если Р(А/В) =Р(А) (условная вероятность равна безусловной).

Теорема 1. Вероятность произведения событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Р(А · В) = Р(В) · Р(А/В) = Р(А) · Р(В/А).

Следствие 1.1. Если события независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

Р(А·В) = Р(В) · Р(А).

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В)

Следствие 2.1. Сумма вероятностей событий A₁, A₂ … A_n, образующих полную группу, равна единице:

Р(А₁) + Р(А₂) + ... + Р(А_n) = 1.

Следствие 2.2 (Формула полной вероятности).

Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из попарно несовместных событий B₁, B₂ ... В_n, образующих полную группу и называемых гипотезами, равна сумме произведений вероятностей каждого из них на соответствующую условную вероятность события А, т.е.:

Р(А) = Р(В₁)·Р(А/В₁) + Р(В₂)·Р(А/В₂) + ... + Р(В_n)·Р(А/В_n).

Пример 1.

Вероятность заморозков в мае в некоторой местности 0,3.

Найти вероятность, что три дня подряд будут заморозки.

Решение.

Обозначим через В событие, состоящее в появлении трех дней с заморозками. Событие А = {день с заморозками} Р(А) = 0,3, В=А·А·А, тогда Р(В) = Р(А)·Р(А)·Р(А) = 0,3·0,3·0,3 = 0,027.

Схема Бернулли

Схемой Бернулли или схемой повторных независимых испытаний с двумя исходами: "успех" или "неуспех" называется последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых "успех" наступает с одной и той же вероятностью р ≠ 0 и 1.

Вероятность того, что при n испытаниях «успех» наступит ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли: P_n(k) = C_n^k · p^k · q^n-k ,

где n – число испытаний;

k – число "успехов";

p – вероятность "успеха" в одном испытании;

q = 1 – р – вероятность "неуспеха";

C_n^k = – число сочетании из n элементов пo k.

Пример 2.

Вероятность заболевания животного во время эпидемии 0,2. Найти вероятность, что из 6 животных 2 заболеют.

Решение.

Число животных n = 6, число "успехов" k = 2, р = 0,2, q =1 – 0,2 = 0,8.

При больших n использование формулы Бернулли затруднительно, поэтому, в этих случаях применяют приближенные формулы, которые следуют из локальной теоремы Лапласа и из теоремы Пуассона.

Выбор формулы для решения задачи на схему Бернулли поможет сделать следующая таблица:

Название формулы	Формула	Когда даст хорошее решение.
Формула Бернулли.	Рn(k) = Cnk · pk · qn-k	Для всех n и р
Формула, следующая из локальной теоремы Лапласа.	Рn(k)≈	При р > 0,1 или nр > 9.
Формула, следующая из теоремы Пуассона.		р ≤ 0,1; nр < 9, n > 10.

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции

φ(х) =

Свойства функции φ(х):

1) φ(–х) = φ(х);

2) при х > 4 φ(х) ≈ 0.

Пример 3.

Допустим, укореняют 15 черенков роз. Приживаемость 80%. Найти вероятность того, что из 15 черенков укоренится ровно 12.

Решение,.

n = 15; k = 12; р = 0,8; q = 1 – 0,8 = 0,2.

Имеем nрq = 15·0,8·0,4 = 2,4

;

Интегральная теорема Лапласа.

Вероятность того, что в п независимых испытаниях, проведенных по схеме Бернулли, событие наступит не менее k₁ и не более k₂ раз, приближенно равна

Р(k, k₂) ≈ Ф(х₂) – Ф(х₁),

где Ф(х) = - интегральная функция Лапласа.

Значение функции Лапласа занесены в таблицу.

Свойства функции Ф(х):

1)Ф(–х) = –Ф(х);

2) если х > 5, то Ф(х) ≈ 0,5.

Пример 4.

Вероятность того, что подготовка почвы к посеву выполнена с соблюдением требований агротехники 0,75. Найти вероятность того, что из 100 делянок почва подготовлена к посеву не меньше чем на 70 и не больше чем на 80.

Решение.

По условию, р = 0,75; q = 1 – 0,75 = 0,25; n = 100; k₁ =100, k₂ =80.

Р₁₀₀(70,80) = Ф(x₂) – Ф(х₁)

Таким образом, имеем

Р₁₀₀(70,80) = Ф(1,15) – Ф(–1,15) = Ф(1,15) + Ф(1,15) = 2Ф(1,15).

По таблице находим Ф(1,15) = 0,3749.

Искомая вероятность Р100(70,80) = 2·0,3749 = 0,7498.