Тема 8. Статистические оценки параметров распределения.

Математическая статистика - наука, занимающаяся разработкой методов получения, описания и использования статистических данных с целью изучения закономерностей, присущих массовым случайным явлениям. Многие задачи статистики связаны с исследованием и контролем количественных и качественных показателей продукции того или иного конкретного производства. В основе их решения лежит выборочный метод, сущность которого состоит в следующем. Обследуется распределение какого-либо признака для весьма большой совокупности объектов. Сделать это для каждого объекта совокупности практически невозможно, поэтому исследуют часть её - выборку. Очевидно, что по выборочным характеристикам можно судить обо всей совокупности только приближённо. Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины по данным выборки. В качестве оценки генеральной средней (среднего значения признака на всей совокупности объектов, подлежащих обследованию) служит выборочная средняя (среднее значение признака на части элементов генеральной совокупности, случайно отобранных из неё), а в качестве оценки дисперсии генеральной совокупности используют исправленную выборочную дисперсию. Если случайная величина имеет нормальное распределение, то в этом случае становится возможным применять так называемые интервальные оценки. Доверительным интервалом называется найденный по данным выборки интервал (Θ – δ, Θ + δ), который покрывает оцениваемый параметр Θ с заданной надёжностью γ. Надёжность γ обычно принимают равной 0,95 или 0,99, или 0,999. Конечно, нельзя категорически утверждать, что найденный доверительный интервал покрывает параметр Θ. Но в этом можно быть уверенным на 95% при γ = 0,95, на 99% при γ = 0,99 и т.д. Это значит, что если сделать много выборок, то для 95% из них (если, например, γ = 0,95) вычисленные доверительные интервалы покрывают параметр Θ.

Задача. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в совхозе на площади 1000 га была определена её урожайность на 100 га. Результаты выборочного обследования представлены следующим распределением:

Урожайность, ц/га	23-25	25-27	27-29	29-31	31-33	33-35	35-37
Площадь, га	4	10	6	16	15	30	20

Найти: 1) величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всём массиве;

2) величину, которую следует принять за среднее квадратичное отклонение урожайности на всём массиве;

3) доверительный интервал в котором с вероятностью 0,95 заключена средняя урожайность на всём массиве.

Решение.

1) В качестве приближённого значения средней урожайности на всём массиве принимаем среднюю арифметическую данного в условии распределения, т.е. выборочную среднюю:

(n = n₁ + n₂ +...+ n_k).

За значение признака нужно принять середины интервалов. Получим:

Значит, приближённое значение средней урожайности на всём массиве будет х ~ 32 ц.

2) Для оценки дисперсии генеральной совокупности применяем формулу

S_n² = · (3(24 - 32)² + 10(26 - 32)² + 6(28 - 32)²+ 16(30 - 32)² + 15(32 - 32)² + 30(34 - 32)² + + 20(36 - 32)²) = · (192 + 360 + 96+ 64 + 0 + 120 + 320) = = 11,64.

Значит, приближённое значение дисперсии на всём массиве будет, σ ~ 11,64, отсюда среднее квадратичное отклонение урожайности на всём массиве равно S = = 3,4. Найдём среднее квадратичное отклонение выборочной средней по формуле σ_х = S_x = S_n/ .

Получим

Итак, оценка средней урожайности сахарной свеклы на всём массиве равна 32 ц со средней квадратичной ошибкой 0,34 ц. Оценка среднего квадратичного отклонения урожайности на всём массиве равна 3,4 ц.

3) Для вычисления доверительного интервала воспользуемся равенством ,

согласно которому можно утверждать, что с надёжностью у доверительный интервал покрывает неизвестное математическое ожидание, точность оценки: .

Поскольку n = 100 > 30, то пользуемся нормальным распределением. Значит, .

Из равенства 2Ф(t_γ) = 0,95 следует Ф(t_γ) = 0,475 и по таблице 3 приложения находим 1,96. Следовательно, точность оценки

.

Концы доверительного интервала

х_в – δ = 32 – 0,67 = 31,33 и х_в + δ = 32 + 0,67 – 32,67.

Таким образом, с вероятностью 0,95 средняя урожайность сахарной свёклы на всём массиве заключена в границах от 31,33 ц до 32,67 ц.