2.6. Аксонометрические проекции

Аксонометрическая проекция или, сокращенно, аксонометрия, это наглядное изображение предмета (геометрического тела), полученное проецированием его на одну плоскость (рис. 43). Чтобы обеспечить наглядность изображения, направление проецирования N не должно быть параллельно основным измерениям предмета. При этом на аксонометрической проекции длина, ширина и высота предмета могут быть искажены по осям координат в одинаковой или в разной степени. Степень искажения основных измерений предмета определяется отношениями длин аксонометрических проекций отрезков, параллельных осям координат, к их действительной длине. Эти отношения называют коэффициентами искажения. Например, для отрезка АВ, параллельного оси Y (см. рис. 43), коэффи­циент искажения равен отношению А_аВ_а/АВ.

Рис. 43

Аксонометрические проекции, у которых проецирующие пря­мые перпендикулярны к плоскости проекций π_а (ψ = 90°), называют прямоугольными. Среди них наибольшее применение нашли: 1) прямоугольная изометрическая проекция, 2) прямоугольная диметрическая проекция. Эти виды аксонометрических проекций приме­няют согласно ГОСТ 2.317—69.

2.6.1. Прямоугольная изометрическая проекция плоских фигур

Прямоугольная изометрическая проекция представляет собой аксонометрическую проекцию с одинаковыми по трем аксономет­рическим осям коэффициентами искажения, равными 0,82.

Оси изометрической проекции (рис. 44, а) составляют между собой углы, равные 120°. Ось Z располагают вертикально, тогда оси X и Y составят с горизонтальной прямой углы 30°. На рис. 44, б показан прием построения осей изометрической проекции с помощью произвольного радиуса R.

Рис. 44

При построении изометрической проекции все линейные размеры геометрического тела, параллельные осям координат, надо умножать на коэффициент 0,82, т. е. уменьшать их по сравнению с действительными размерами. Однако на практике коэффициенты искажения округляют до единицы, что позволяет значительно упростить построения. Изометрические проекции, построенные с учетом теоретических или округленных коэффициентов искажения, отличаются друг от друга только размером, так как в первом случае масштаб изображения 1 : 1, а во втором— 1,22 : 1 (1/0,82 = 1,22).

Построение изометрической проекции плоских многоуголь­ников. Если плоский многоугольник имеет взаимно перпендикулярные стороны, то с ними обычно совмещают оси координат. Напри­мер, при построении изометрической проекции прямоугольника, расположенного в плоскости π₁ (рис. 45, а), с его смежными сторонами совмещены оси координат X и Y. Построив изометрические проекции этих осей, от точки О откладывают по оси X отрезок a, a по оси Y— отрезок b. Через концы построенных отрезков проводят прямые, параллельные осям X и Y, и продолжают их до взаимного пересечения. Полученный параллелограмм есть изометрическая проекция данного прямоугольника.

На рис. 45, б изображена изометрическая проекция того же прямоугольника, но принадлежащего плоскости π₃.

Рис. 45

При построении аксонометрической проекции плоских многоугольников с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии последние удобно принимать за оси координат. Для примера взят правильный шестиугольник ABCDEF, расположенный в плоскости π₂ (рис. 46, а). Вначале строят изометрические оси X и Z (рис. 46, б) и откладывают по оси Z вверх и вниз от точки О отрезки О1 = О"1" и О2 = О"2". Через точки 1 и 2 проводят прямые, параллельные оси X, и на них откладывают в обе стороны от точек 1 и 2 половину стороны шестиугольника, например отрезок В"1". Концы отложенных отрезков (точки В, С, Е и F) являются изометрической проекцией вершин В, С, Е и F. Вершины А и D принадлежат оси X. Для построения их изометрической проекции по оси X откладывают в обе стороны от точки О отрезки ОА = О"А" и OD = O"D" (рис. 46, в). Последовательно соединив прямыми построенные вершины шестиугольника, получают его изометрическую проекцию.

Рис. 46

Построение изометрической проекции окружностей. Изометрические проекции окружностей, расположенных в плоскостях проекций или плоскостях им параллельных, есть эллипсы с одина­ковым соотношением осей (рис. 47). Большие оси этих эллипсов равны 1,22 D_окр, а малые —0,7 D_окр, где D_окр — диаметр изображаемой окружности. Направление осей эллипсов зависит от положения проецируемой окружности. Большая ось эллипса всегда перпендикулярна той аксонометрической оси, которая не принадлежит плоскости, изображаемой окружности, а малая совпадает с этой осью или параллельна ей. Например, изометрическая проекция окружности, заданной в горизонтальной плоскости (или ей параллельной), есть эллипс, большая ось которого перпендикулярна оси Z, а малая совпадает с ней (или ей параллельна).

Рис. 47

Практически при вычерчивании аксонометрической проекции окружности эллипс обычно заменяют овалом, построение которого значительно проще и при равенстве размеров осей овала и эллипса их очертания очень близки.

На рис. 48 показано построение овала, приближенно заменяющего изометрическую проекцию окружности, расположенной в плоскости π₁.

Рис. 48

Большая ось овала АВ = 1,22 D_окр, а малая — CD = 0,7 D_окр. Вначале задают центр овала — точку О и через нее проводят две взаимно перпендикулярные прямые. Из точки О описывают две окружности радиусами, равными полуосям овала. В пересечении этих окружностей с взаимно перпендикулярными прямыми отмечают точки O₁, O₂, О₃, O₄ —центры сопряженных дуг окружностей, из которых состоит овал. Далее проводят прямые O₁O₃, O₁O₄, O₂O₃ и O₂O₄, на которых расположены точки сопряжения дуг овала. Две дуги окружности радиуса R₁ = O₂C описывают из центров O₁ и O₂, а две дуги окружности радиуса R₂ = О₃А — из центров O₃ и O₄.

Для остальных координатных плоскостей овалы строят аналогично овалу, заменяющему изометрическую проекцию окружности, расположенной в плоскости π₁. При этом изменяется только направление большой и малой осей овала или эллипса (см. рис. 47).

Прямоугольную изометрическую проекцию применяют доволь­но широко благодаря простоте построения ее осей и одинаковому соотношению осей эллипсов — проекций окружностей, располо­женных в плоскостях проекций или в плоскостях, им параллельных. Однако нужно иметь в виду, что изометрическая проекция, построенная с округленными коэффициентами искажения, получается увеличенной и чем крупнее изображаемый предмет, тем более заметна разница между нормальной и увеличенной изометрической проекцией. Поэтому изометрическую проекцию крупных предметов следует строить с учетом коэффициентов искажения или помещать на отдельном формате.