Və funkisyasının tapılması məsələsi əmsalın təyini tərs məsələsi adlanır.

Bir çox ədəbiyyatda f(x,t) funksiyasının tapılması da əmsalın təyini tərs məsələsi sinfinə daxil edilir və diferensial tənliklərin sağ tərəfinin təyin edilməsi məsələsi adlanır. Bu cür məsələlərin qoyuluşunda f(x,t) funksiyası

şəklində təsvir edilir və bu funksiyalardan yalnız biri , məsələn, naməlum hesab edilir. Bu halda da məsələnin korrekt olması üçün əlavə şərt verilir. Məsələn,

funksiyası verilir.

Həndəsi tərs məsələlərdə adətən məsələ baxılan oblastın həndəsi ölçülərinin təyini ilə əlaqədar olur. Məsələn, baxılan prosesin baş verdiyi oblastın sərhədinin təyin edilməsi. Müasir dövrdə tərs məsələlərin həllinə çox böyük diqqət yetirilir. Tərs məsələlərin həllində ən çox istifadə edilən üsullardan biri variasiya üsuludur. Bu üsulla tərs məsələnin həlli variasiya məsələsinin həllinə gətirilir.

20--Tərs məsələlərin ədədi həll üsulları

Indiyə qədər tərs məsələləri həll etmək üçün çoxsaylı üsullar təklif edilmişdir. Bu üsullar içərisində ən çox istifadə olunanları aşağıdakılardır.

1. Kvaziçevirmə. Bu üsul fransız riyaziyyatçısı Lions tərəfindən təklif edilmişdir. Bu üsulun əsas ideyası ondan ibarətdir ki, verilən tənlik verilmiş başlanğıc və sərhəd şərtlərinin korrekt olduğu tənliklə əvəz edilir.

Bu məsələdə funksiyası naməlumdur. Ona görə də məsələnin korrekt qoyuluşu üçün əlavə şərt verilmişdir, (4) şərti. Burada x=0 nöqtsəində iki şərt verilmişdir. (1)-(5) məsələsi qeyd edildiyi kimi qeyri-korrektdir. Onda Lions üsuluna görə (1) tənliyi elə tənliklə əvəz edilir ki, (2)-(4) şərtləri o tənlik üçün korrekt olsun. Məsələn, (1) tənliyini aşağıdakı hiperbolik tip tənliklə əvəz etsək, (2)-(4) şərtləri bu tənlik üçün korrekt olar.

Bu halda x və t dəyişənləri yerini dəyişmiş olur. Belə ki, x dəyişəninə görə (3) və (4) başlanğıc şərtləri verilmiş olur. Hiperbolik tip tənliyin verilmiş şərtlər daxilində parçasındakı həlli tapılır və funksiyanın qiyməti funksiyası qəbul edilir. Bu zaman qarşıya verilən tənliyin hansı tənliklə nəvəz olunması problemi çıxır və bu problemlərin həlli yeganə üsulla tapılmır. Başqa sözlə (1) tənliyini (2)-(4) şərtləri korrekt olan çoxsaylı tənliklə əvəz etmək olar.

2. Variasiya üsulu. Bu üsulla tərs məsələni həll etmək üçün o variasiya məsələsi şəklində yazılır, yəni verilmiş şərtlərdən biri funksional şəklində yazılır və məsələ funksionalın minimallaşdırılmasına gətirilir. Tutaq ki, yuxarıdakı (1)-(5) məsələsini variasiya məsələsinə gətirmək lazımdır. Bunun mümkün variantlarından biri (3) şərtini funksional şəklində yazmaqdan ibarətdir.

Variasiya məsələsi aşağıdakı şəkildə ifadə olunur:

Elə funksiyası tapmaq lazımdır ki, bu funksiyaya uyğun (1) tənliyinin həlli (2), (4), (5) şərtlərini ödəsin və (6) funksionalına minimum qiymət versin. Bu məsələ ümumilikdə optimal idarəetmə məsələsidir və idarəetmə funksiyası funksiyasıdır. Lakin nəzəri və praktiki tədqiqatlar göstərir ki, (6) funksionalına minimum verən çoxlu sayda funksiyaları ola bilər. Bu funksiyaların içindən yeganə funksiya seçmək üçün Tixinov requlyarlaşdırma üsulu təklif etmişdir. Bu üsula görə (6) funksionalı aşağıdakı şəkildə yazılır.

Burada requlyarlaşdırma parametridir. Funksionalın bu şəkildə yazılışı o deməkdir ki, funksiyalar çoxluğundan ən kiçik noması olan seçilir. Bu üsulda da qarşıya çıxan problemlərdən biri parametrinin seçilməsidir. Bu iki üsuldan başqa tərs məsələlərin həlli üçün müxtəlif ədədi üsullar evristik alqoritmlər təklif edilmişdir. Indi parabolik tip tənliyin sağ tərəfinin təyini tərs məsələsinin bir həll üsuluna baxaq.

7--Sağ tərəfin təyini tərs məsələsi

Tutaq ki, baxılan proses

Fərz edək ki funksiyası

şəklindədir və funksiaysı naməlumdur. funksiyası məlumdur və

şərtini ödəyir. Məsələnin korrekt olması üçün əlavə şərt verilməlidir və bu şərti

şəklində yazaq. verilən funksiyadır. Əvvəlcə (1) tənliyini aşağıdakı kimi əvəzləmə aparmaqla çevirək.

Burada funksiyası da naməlumdur. (1)-də bunu nəzərə alsaq, alarıq:

Bu tənlik üçün başlanğıc və sərhəd şərtləri aşağıdakı kimi olar:

Bunu aşağıdakı şərtdə yerinə yazaq

Buradan funksiyasını tapmaq olar

Tapılan ifadəni yuxarıdakı tənlikdə yerinə yazaq:

Beləliklə, məsələ (5) tənliyini (6) başlanğıc və (7) sərhəd şərtlərini ödəyən W(x,t) funksiyasının tapılmasına gətirildi. Aşkardır ki, bu məsələnin həlli məlum olarsa, onda

düsturu ilə naməlum funksiyası,

düsturu ilə isə funksiyasını tapmaq olar. (5) tənliyinə ədəbiyyatda yüklənmiş parabolik tip tənlik deyilir. Çünki, bu tənliyin sağ tərəfində axtarılan funksiyanın qeud olunmuş nöqtədəki qiyməti var. Belə tənlikəlrin analitik həllini qurmaq mümkün olmur. Ona görə də ədədi üsullardan istifadə edilir. Bu üsullardan ən çox geniş yayılanı sonlu fərqlər üsuludur. Bu üsulun əsas ideyası ondan ibarətdir ki, tənliyin verildiyi oblast diskretləşdirilir. Yəni verilmiş oblastdan sonsuz sayda nöqlələrin çoxıuğundan sonlu sayda nöqtələr çoxluğu seçilir. Bu seçilən nöqtələr çoxluğuna şəbəkə deyilir. Sonra isə verilmiş tənliyin və şərlərin bu şəbəkədə diskret analoqu qurulur. Bundan sonra qoyulan diferensial məsələ cəbri tənliklər sisteminin həllinə gətirilir. Indi (5)-(7) məsələsinin sonlu fərqlər üsulu ilə həllinə baxaq. Bununçün x və t dəyişənlərinə görə aşağıdakı müntəzəm şəbəkəni quraq:

Onda (5) tənliyinin diskret analoqu belə yazılar:

Başlnağıc və sərhəd şərtlərinin də diskret analoqu aşağıdakı kimidir.

Nəticədə məsələni (7)-(9) tənliklər sisteminin həllinə gətirmiş olduq.

42--Verilən nöqtəvi müşahidələr əsasında başlanğıc şərtin təyini məsələsi

Fərz edək ki, baxılan proses

tənliyi ilə təsvir edilir. Bu tənliyin yeganə həllinin tapılması üçün əlavə şərtlər verilməlidir.

Burada Q G oblastının sərhədidir. (1)-i aşağıdakı kimi də yazmaq olur:

Qeyd edildiyi kimi (1) tənliyinin (2) başlanğıc və (3) sərhəd şərtini ödəyən həllinin tapılması düz məsələdir. Bəzən elə proseslərə rast gəlmək olur ki, bu proseslərin başlanğıc vəziyyəti məlum olmur. Yəni funksiyası naməlum olur. Aydındır ki, bu halda (1)-(3) məsələsi korrekt olmur. Məsələnin korrekt olması üçün həll haqqında əlavə informasiya verilməlidir. Tutaq ki, G oblastının daxilində N sayda nöqtədən müşahidə aparılır. Yəni bu nöqtələrdən istənilən zaman anında həllin qiyməti məlum olur.

Onda məsələ (1) tənliyinin (3)-(4) şərtlərini ödəyən həllinin və funksiyasının tapılmasından ibarət olur. Lakin bu məsələnin yeganə həlli olmaya bilər. Məsələnin yeganə həllini tapmaq üçün onu variasiya məsələsi şəklində yazaq:

Bu funksionalın ifadəsindki ikinci hədd requlyarizator adlanır. O məsələnin həllinin yeganəliyini təyin etmək üçün daxil edilir. requlyarlaşdırma addımıdır. Aşağıdakı əvəzləməni aparmaqla

Funksionalı belə yazaq:

Beləliklə, variasiya məsələsi aşağıdakı kimi qurulur:

Elə funksiyası tapın ki, bu funksiyaya uyğun (1) tənliyinin həlli (2)-(3) şərtlərini ödəsim və (5) funksionalına minimum qiymət versin. Belə məsələləri həll etmək üçün ən geniş yayılmış üsul qradiyent üsuludur.(funksionalın qradiyenti onun artımının xətti hissəsidir).

Göründüyü kimi qradiyentin ifadəsini tapmaq üçün funksionalın artımının ifadəsini bilmək vacibdir. Fərz edək ki, funksiyası artımı almışdır. Onda (1) tənliyinin həlli olan U funksiyası da artımı alacaq və bu artım aşağıdakı şərtləri ödəyər:

Onda funksionalın artımı belə yazılar:

Burada R funksionalın artımının qeyri-xətti hissəsidir. Və onu sonsuz kiçik kəmiyyət kimi nzərdən keçirməmək olar. Funksionalın artımını çevirmək üçün aşağıdakı standart texnikadan istifadə edək :

(6) tənliyinin hər iki tərəfi hələlik naməlum hesab edilən funksiyasına vurulur, t dəyişəninə və G oblastına görə nteqrallanır. Alınan inteqral münasibət elə çevrilir ki, funksiyasına nəzərən diferensial ifadə alınsın.

Tənliyin sol tərəfini t dəyişəninə görə hissə-hissə inteqarallayaq, sağ tərəfi Qrin düsturuyla çevirsək,

funksiyası ixtiyari olduğundan onu elə təyin etmək olar ki, alınan münasibət sadələşsin. Fərz edək ki, funksiyası

şərtini ödəyir. Tutaq ki, funksiyası tənliyin başlanğıc şərtini və sərhəd şərtini ödəyir.

Əgər (9)-(11) şərtini nəzərə alsaq, onda axırıncı inteqral münasibəti

Bunu nəzərə alsaq, funksiya artımını belə yaza bilərik

Məlumdur ki, funksiyanın qradiyenti funksiyanın ən çox artma istiqamətini, antiqradiyenti isə azalma istiqamətini göstərir. Qradiyent üsullarının əsas ideyası funksiyanın azalması istiqamətində yığılan arğıcıllığı qurmaqdan ibarətdir. Funksionalın qiyməti məlu olduqdan sonra funksiyasının tapılması alqoritmi aşağıdakılardan ibarət olur.

1. başlanğıc yaxınlaşma seçilir.

2. məsələsinin həlli tapılır. U(x,y,t) bütün nöqtələrdə təyin edilir.

3. Tapılan həll (9)-da nəzərə alınmaqla (9)-(11) məsələsinin həlli tapılır. Adətən (9)-(11) məsələsinə qoşma məsələ deyilir.

4. (12) düsturu ilə funksionalın qradiyenti hesablanır və funksiyasına birinci yaxınlaşma tapılır.

Əgər

Onda iterasiya prosesi dayandırılır. Əks halda hesablama prosesi ikinci mərhələdən başlayaraq davam etdirilir. Göründüyü kimi bu üsulla başlanğıc şərtin tapılması (2) sərhəd məsələsinin həllinin tapılmasını tələb edir. ədəbiyyatda məsələyə evolisyon tərs məsələ deyilir. Başlanğıc şərtin tapılmasına retrospektiv tərs məsələ də deyilir. Lakin, sərhəd məsələlərinin hılli analitik üsulla mümkün olmadığından ədədi həll üsullarından istifadə etmək lazım gəlir. (1)-(9) tənlikləri ikiölçülü tənliklərdir və bu tənliklərin həlli üçün dəyişən istiqamətlər üsulundan, fiziki proseslərə görə parçalama və s. istifadə etmək olar.

4-11-17-47--Sərhəd məsələlərinin həlli problemləri

Qeyd edildiyi kimi çoxsaylı proseslərin riyazi modelləşdirilməsi xüsusi törəməli diferensial tənliklər üçün sərhəd məsələlərinin həllinə gətirilir. Bu məsələlərin yalnız xüsusi halda analitik həllini qurmaq mümkün olur. Ona görə də prosesləri tədqiq etmək üçün ədədi üsullardan istifadə edilir. Bu üsullar içərisində sonlu fərqlər üsulu, sonlu elementlər üsulu, diferensial fərq üsulları, düz xətlər üsulu, sərhəd elementləri üsulu və s. göstərmək olar. Sonlu fərqlər üsulu ilə sərhəd məsəllərinin həlli iki mərhələdən ibarətdir. Birinci mərhələdə məsələnin baxıldığı oblast diskretləşdirilir, yəni sonsuz sayda nöqtələr çoxluğundan sonlu sayda nöqtələr çoxluğu seçilir, yəni şəbəkə qurulur. Ikinci mərhələdə diferensial tənlik və əlavə şərtlərin bu şəbəkədə diskret analoqları qurulur. Nəticədə diferensial məsələnin həlli cəbri tənliklər sisteminin həllinə gətirilir. Bu zaman qarşıya çıxan problemlər 3 qrupa bölünür: