Verilmiş funksionalın qradiyentini hesablayaq. Bunun üçün aşağıdakı əvəzləməni aparmaqla (1) tənliyini operator şəklində yazaq:

Onda məsələ aşağıdakı şəkildə yazılar:

Qradiyenti hesablamaq üçün artım üsulundan istifadə edək. tutaq ki, v funksiyası ixtiyari artımı alır. Onda U funksiyası da artım alar və bu artım aşağıdakı tənlikdən tapılar

L operatoru xətti operator olduğundan

funksiyası üçün sərhəd şərti isə

şəklində yazılar. və funksiyaları artım aldığına görə funksional da artım alır. Bu artım aşağıdakı kimi hesablanır:

Funksionalın artımındakı hədləri ilə ifadə etmək lazımdır. Bunun üçün optimal idarəetmə nəzəriyyəsində aşağıdakı standart texnikadan istifadə edilir. (5) tənliyinin hər iki tərəfi ixtiyari p funksiyasına skalyar vurulur

Əgər Laqranj eyniliyindən istifadə etsək, bu tənliyin sol tərəfini aşağıdakı kimi yaza bilərik:

Burada operatorunun qoşmasıdır. Baxılan məsələdə L operatoru öz-özünə qoşma olduğuna görə dir. Onda aşağıdakı bərabərliyi alarıq:

İndi tutaq ki, p funksiyası aşağıdakı tənliyi ödəyir:

Bunu nəzərə alsaq sonuncu bərabərliyi belə alarıq:

Göründüyü kimi funsionalın artımının sağ tərəfindəki birinci ifadəni (p, ) ilə əvəz etmək olar. Onda funksionalın artımı aşağıdakı şəkildə yazılar:

Bu ifadədən funksionalın qradiyenti üçün aşağıdakı düsturu alarıq:

Zəruri şərtə görə bu ifadə sıfra bərabər olmalıdır

Beləliklə, v(x) idarəetməsinin təyin edilməsini aşağıdakı sistemin həllinə gətirmiş olduq.

sistemin 2-ci tənliyinin hər iki tərəfinə L operatoru ilə təsir edək:

Alınan tənlikdə nu nəzərə alsaq

Sonuncu tənlikdən -i tapıb burda yerinə yazsaq

Bu tənlik üçün sərhəd şərti isə (7)-nin 2-ci tənliyindən alınır.

Buradan görünür ki, p funksiyasını o biri funksiyalardan asılı olmadan təyin etmək olar. Analoji çevirmələr aparmaqla (7) sistemini funksiyasından asılı tənliyə gətirmək olar:

Əgər (8)-də götürsək, onda aşağıdakı tənliyi alarıq:

Alınan məsələnin həllində qarşıya çıxan əsas çətinlik 4-cü tərtib xüsusi törəməli diferensial tənliklərin ədədi həllinin tapılmasıdır. Bu cür məsələləri diskretləşdirməklə iterasiya üsullarından istifadə etməklə həll etmək olar.

22-24--Qərarqəbuletmə problemləri.

İnsan fəaliyyətinin bütün sahələrində gündəlik həyatda qərarqəbuletmə problemləri ilə rastlaşır. Qərarqəbuletmə prosesi aşağıdakıların olmasını tələb edir:

1. Məqsəd.

2. Alternativlərin çoxluğu.

Hər bir prosesdə məqsəd dəqiq müəyyən olmalıdır. Lakin elə problemlərə rast gəlinir ki, məqsəd ya qeyri-müəyyən olur, ya da bir-birini aşkar edən çoxlu sayda olur. 20-ci əsrin ortalarından başlayaraq qeyri-müəyyənlik şəraitində qərarqəbuletmə nəzəriyyəsi inkişaf etdirilməyə başlamışdır. Qərarqəbuletmə prosesində qarşıya çıxan problemləri 3 qrupa bölmək olur. 1 qrup problemlər məqsədin qeyri-müəyyənliyi ilə bağlıdır. Bu o deməkdir ki, bir və ya bir neşə məqsəd ola bilər və bunlar biri digərinə ziddiyyət təşkil edə bilər. Məsələn, təyyarə konstruksiya edilərkən onun bir tərəfdən təhlükəsizliyi təmin etməsi, digər tərəfdən az xərclə başa gəlməsi tələb olunur. Vəyaxud iqtisadi plan qurularkən maximum məhsul alınması və az xərc çəkilməsi tələb olunur. Göründüyü kimi bu məqsədlər bir-biri ilə ziddiyyət təşkil edir. 2-ci qrup problemlər bütün faktorların məlum olmaması ilə bağlıdır. Bu o deməkdir ki, qərarqəbuletmə prosesində faktorlar ümumiyyətlə məlum deyil və yaxud onların tabe olduğu qanunauyğunluqlar məlum deyil. 3-cü qrup problemlər rəqibin yaxud partnyorun-tərəf müqavilin qəbul edəcəyi qərar məlum deyil. Məqsəd çoxluğu olan məsələlər elmi ədəbiyyatda çox vaxt çoxkriteriyalı məsələlər adlanır. Bu cür məsələlərin həllində ən çox istifadə edilən üsul italyan iqtisadiyyatçısı Paretonun təklif etdiyi üsuldur. Pareto prinsipinə görə məsələnin həlli elə alternativlərdən seçilir ki, onların dəyişdirilməsi bəzi kriteriyaların artmasına, digərinin azalmasına səbəb olur. Məqsədin qeyri-müəyyən olması şəraitində məsələlərin həllini tapmağa imkan verən digər yanaşma Zadə və Bellman tərəfindən təklif edilmişdir. Bu yanaşmaya görə məqsəd qeyri-səlis şəkildə verilir. Əgər riyazi olaraq məhdudiyyət şərtləri də qeyri-səlis çoxluqlar şəklində verilərsə, onda məslənin həlli qeyri-səlis çoxluqların kəsişməsi olaraq götürülür. Məlumdur ki, məqsəd dəqiq məlum olduqda, onda məhdudiyyət şərtlərini nəzərə almaqla qərarqəbuletmə məsələsi aşağıdakı kimi qoyulur:

Burada elə x vektoru seçmək lazımdır ki, (2) məhdudiyyət şərtlərini ödəsin və (1) funksiyasına minimum versin. Belə məsələyə riyazi proqramlaşdırma məsələsi deyilir. Əgər f, funksiyalarının hamısı xətti olarsa, onda belə məsələ xətti proqramlaşdırma məsələsi adlanır. Əgər bu funksiyalardan hər hansı biri qeyri-xətti olarsa, onda ona qeyri-xətti proqramlaşdırma məsələsi deyilir. Bu məsələ o zaman əhəmiyyət daşıyır ki, olsun. Bu məsələyə şərti ekstremumun tapılması məsələsi də deyilir. Bu məsələnin şərtsiz ekstremuma gətirilməsi üsullarından biri belədir: (2) sistemindən m sayda dəyişən, məsələn, yerdə qalan dəyişənlərdən tapılır.

Alınan qiymətlər (1) funksiaysında yerinə yazılır.

və şərtsiz ekstremum məsələsi alınır, dəyişənlərinə görə. Verilən məsəlinin şərti ekstremum məsələsinə gətirilməsi üçün istifadə olunan üsullardan biri də Laqranjın qeyri-müəyyən vuruqlar üsuludur. (2) sisteminin hər tərəfi x-ə vurulur və (1) funksiyasına əlavə edilir.

Burada əmsalları həm də ölçü vahidlərini eyniləşdirmək məqsədi güdür. Göründüyü kimi bu halda da məsələ L funksiyasının şərtsiz ekstremumunun tapılmasına gətirilir. Zəruri şərtə görə

tənlikləri yazılır və alınan sistemin həlli tapılır. Indi fərz edək ki, bir neçə məqsəd funksiyası verilir və bu funksiayların məhdudiyyət şərtləri daxilində ekstremumunun tapılması tələb olunur.

çoxkriteriyalı məslənin həll üsullarından biri aşağıdakı

məsələsinin həlli tapılır. Burada

Tutaq ki, bu zaman funksiyanın qiyməti dir. Sonra 2-ci məsələnin həllini tapırıq

və nəhayət k-cı funksiyanın qiymətini tapırıq:

Hər bir funksiyasının qiyməti məlum olduğundan onda elə məsələ qoymaq olar ki, 1-ci funksiyanın qiyməti dan, 2-cinin dan, k-cının dan çox az fərqlənsin. Beləliklə, alarıq:

Elə dəyişənləri tapmalıyıq ki, (4) şərtlərini ödəsin və (3)-ə minimum qiymət versin. İndi fərz edək ki, məqsəd qeyri-səlis çoxluq şəklində verilib. Məlumdur ki, bu anlayış Lütfizadə tərəfindən daxil edilmişdir və müasir dövrdə Fuzzy sets nəzəriyyəsi adlanır. Klassik çoxluq nəzəriyyəsində belə qəbul edilir: element çoxluğa ya daxildir, ya da daxil deyil. Xarakteristik funksiya belə təyin edilir.

Lakin qeyri-səlis çoxluqda hər bir elementin verilən çoxluğa bu və ya digər dərəcədən daxil olması qəbul edilir. Elementin çoxluğa daxil olma dərəcəsini göstərən ədəd mənsubiyyət funksiyasının qiyməti olur. Qeyri-səlis çoxluq nəzəriyyəsində xarakteristik funksiya mənsubiyyət funksiyasıyla əvəz edilir. Əgər qeyri-səlis çoxluğun elementləri məlumdursa, onda bu çoxluq

cədvəli şəklində verilə bilər.

Qeyri-səlis çoxluqların əsas xarakteristikası mənsubiyyət funksiyasıdır. Bu funksiyanın qurulması tədqiqatçıdan asılıdır. Bununla belə bu funksiyanın aşağıdakı formalarından daha çox istifadə edilir.

a

c

b

x

a

c

b

x

d

a

Qauss əyrisi

Mənsubiyyət funksiyasının ən böyük qiyməti nirə bərabər olduqda (r=1)

a

a

a

a

a

normal çoxluq adlanır. Əks halda subnormal çoxluq adlanır. Adətən subnormal çoxluqlar qeyri-səlis çoxluqların kəsişməsi zamanı meydana çıxır. Belə ki, A və B qeyri-səlis çoxluğun kəsişməsi

olar. Əgər məqsəd funksiyası və məhdudiyyət şərtləri qeyri-səlis çoxluqlar şəklində verilərsə və yaxud bir neçə məqsəd funksiyası qeyri-səlis çoxluq kimi verilərsə, onda belə məsələlərin həllində Bellman və Zadənin təklif etdiyi üsuldan istifadə etmək olar. Bu üsulda məsələnin həlli qeyri-səlis çoxluqların kəsişməsi şəklində tapılır.

45--Döyüş əməliyyatlarının modelləşdirilməsi

Hələ birinci dünya müharibəsi dövründə döyüş əməliyyatlarının modelləşdirilməsi ilə bağlı tədqiqatlar aparılırdı. İlk dəfə Lan Çester tərəfindən belə model təklif edilmişdiir. Bu modelə görə iki vuruşan orduda şəxsi heyətin sayının dəyişmə sürəti döyüş əməliyyatı ilə bağlı olmayan faktorlardan (xəstəlik, fərarilik, ...), hərbi əməliyyatlar nəticəsində verilən itkilərdən və ehtiyyat hissələrin əməliyyata cəlb edilməsindən asılı olur. Orduların sayı uyğun olaraq funksiyaları ilə ifadə olunur. t=o başlanğıc zaman anında say məlumdur

Əgər hər iki ordunun dəyişmə sürətinə təsir edən faktorları, yuxarıdakı faktorları nəzərə alsaq, onda aşağıdakı modeli alarıq

Burada və döyüş əməliyyatları ilə bağlı olmayan itkiləri xarakterizə edir. ehtiyyatda olan hissələrin əməliyyata cəlb olunmasını xarakterizə edir. əməliyyatları ordunun silahlanma dərəcəsindən və döyüş fəaliyyətindən asılı olur. Əgər , , əmsallarını 0 götürsək, onda model aşağıdakı şəkilə düşər:

Burada hansı ordunun sayı 0-a yaxınlaşırsa, o məğlub sayılır. Baxılan halda bunu müəyyən etmək üçün alınan sistemi faza müstəvisində yazaq

Bu tənliyi inteqrallasaq, onda

c-inteqrallama sabitidir. Başlanğıc şərti nəzərə alsaq, c sabitini taparıq. Bununçün t=0 yazırıq və

Buradan görünür ki, c parametri müsbət olarsa, yəni olarsa, onda 1-ci ordu qalib gəlir. c=0 olarsa, hər iki ordu bir-birini məhv edir. olarsa, onda 2-ci ordu qalib gəlir. yuxarıdakı sistemi həll etməklə hər iki ordunun sayının zamandan asılılığını tapmaq olar. Bununçün sistemin 1-ci tənliyini t-ə nəzərən diferensiallasaq

Ikincini diferensiallasaq,

Bu ikinci tərtib diferensial tənlikdir.

naməlum parametrdir. Bunu yerinə yazsaq alarıq

Bu tənliyə diferensial tənliyin xarakteristik tənliyi deyilir. Onda

Nəticədə

və inteqrallama sabitlərini tapmaq üçün başlanğıc şərtlərdən istifadə edək:

Bu əmsalların qiymətlərini nəzərə alsaq və funksiyalarının zamandan asılılığını tapa bilərik.

23-31--Qeyri-stasionar proseslərin optimal idarə olunması

Tutaq ki, düzbucaqlı şəklində ikiölçülü oblastda istiliyin qeyri-stasionar yayılması prosesinə baxılır. Bu oblastın daxilində istilik mənbəyinin olduğunu fərz edək. Bu prosesin riyazi modelini aşağıdakı şəkildə yazaq:

(1)-i operator şəklində yazmaq olar.

Əgər L operatorunu nəzərə alsaq, onda (1) tənliyini aşaöıdakı kimi yaza bilərik:

Tutaq ki, (2) tənliyi üçün aşağıdakı kimi başlanğıc və sərhəd şərtləri verilmişdir.

-baxılan oblastın sərhədidir.

Burada v(x,t) funksiyası mənbənin fəaliyyətini təsvir edir. Tutaq ki, verilən oblastda arzuolunan temperaturu almaq tələb olunur. Onda məsələ optimal idarəetmə məsələsi şəklində qoyulur:

Elə v(x,t) funksiyası tapmaq lazımdır ki, bu funksiyaya uyğun U(x,t) funksiyası (2) tənliyini (3)-(4) şərtlərini ödəsin və (5) funksionalına minimum qiymət versin. Bu məsələnin həllini tapmaq üçün funksionalın qradiyentini hesablayaq. Tutaq ki, funksiyası ixtiyari artımı alır. Onda (2) tənliyinin həlli də artımı alır və bu artım aşağıdakı məsələnin həlli var:

Bu zaman (5) funksionalı da artım alır.