1. 3.2 Составляющие погрешностей измерений

При выполнении измерений стремятся по возможности снизить погрешность результата. С этой целью проводят анализ источников погрешности, а потом, поняв природу их возникновения, разрабатывают методы их снижения (или учета).

По источнику возникновения погрешности делятся на методические и инструментальные. Источником методических погрешностей являются особенности метода измерений или расхождения между моделью измеряемой физической величины и самой величиной. Источником инструментальной погрешности являются несовершенство средств измерения или их нестабильность. Инструментальная погрешность будет более подробно рассмотрена в следующем разделе, а сейчас остановимся на методической погрешности.

Примеры моделей физических величин и их несоответствия истинным значениям величин приводились в п. 1.2. Рассмотрим еще один пример, который доведем до получения значения методической погрешности.

Большая часть вольтметров переменного тока предназначена для получения числовых значений действующих величин напряжений. Действующей величиной переменного напряжения называется постоянное напряжение, выделяющее на омической нагрузке такое же количество энергии, как и измеряемое переменное.

Выражение для напряжения переменного синусоидального сигнала имеет вид

,

где U_m – амплитудное (максимальное) значение синусоиды;

ω = 2π /Т– круговая частота колебаний;

Т – период колебаний;

t – текущее время;

φ – начальная фаза колебаний.

Действующее напряжение U_д определяется как корень квадратный из средней мощности, выделяемой на сопротивлении в 1 Ом:

. (3.3)

При взятии интеграла учтено, что

и второй интеграл в квадратных скобках равен нулю.

Следовательно, для измерения максимального (амплитудного) значения синусоидального сигнала нужно результат измерений U_д умножить на . Но если сигнал по форме отличен от синусоиды и это не учтено в модели измеряемой величины, то неизбежны методические погрешности.

Для определенности будем считать, что сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов (рисунок 3.1)

И мпульсы имеют ту же амплитуду U_m и период следования T, что и синусоидальный сигнал; длительность импульсов обозначена буквой τ.

Определим показания вольтметра для рассматриваемого случая, подставив параметры импульсной последовательности вместо синусоиды в выражение (3.3):

. (3.4)

Рассчитаем по (3.4) показания вольтметра при отношениях τ/Т = 0,8 и при τ/Т = 0,1. В первом случае U_д1 ≈ 0,9 U_m, во втором - U_д2 ≈ 0,32 U_m. Теперь, исходя из модели синусоидального сигнала, определим амплитуды импульсов, умножая U_д1 и U_д2 на 1,41; получим, соответственно,

.

Считая абсолютные погрешности по формуле (3.1), вычислим методические погрешности измерений:

; аналогично Δ₂ = -0,55U_m.

Погрешности получаются очень большими и крайне редко можно встретить измерительные задачи, в которых подобная погрешность считалась бы приемлемой.

Особенно наглядно значение погрешности видно при переходе к относительной погрешности по формуле (3.2):

, аналогично .

Чем объясняется столь большие величины погрешностей измерений? Ответ – неадекватностью модели физической величины реальному ее виду. Следовательно, прежде чем приступать к измерениям напряжения, необходимо уточнить какова форма исследуемого сигнала, создать адекватную его модель и только после этого выбирать соответствующее средство измерений.

Разработку моделей физических величин, к сожалению, не удается формализовать; корректность модели зависит от опыта и квалификации специалистов, ее создающих. Грубые модели, как мы видели, ведут к очень большим погрешностям, а сложные подробные модели – к неоправданному усложнению измерительных средств и большим экономическим затратам на проведение измерений.

Мы рассмотрели погрешности измерений с точки зрения источников их появления (анализ инструментальных погрешностей будет проведен в другой главе). А теперь рассмотрим, как ведут себя погрешности (без уточнения источника их появления) при выполнении многократных измерений одним прибором или одновременных измерениях одной физической величины несколькими однотипными приборами.

Исследования показали, что с указанной точки зрения погрешности можно разделить на постоянные (или изменяющиеся по известному закону) и случайные. Постоянная составляющая погрешности называется систематической погрешностью, а изменяющаяся часть называется случайной погрешностью.

Источниками систематической погрешности могут быть: отложения твердых частиц на стенке трубы расходомера, что уменьшает ее диаметр; попадание загрязнений или пылинок на чашку весов; трение в осях поворотных устройств (передаточных шестерней, стрелочных указателей и т.д.); воздействие электромагнитных полей от мощных потребителей (электродвигателей, нагревательных печей); воздействие на измерительный прибор внутренних и внешних источников тепла.

Случайные погрешности отличаются тем, что их нельзя предсказать ни по величине, ни по знаку в отдельно взятом измерении. Источниками их могут быть собственные шумы электронных схем измерительных приборов; внешние переменные температурные или электромагнитные поля (например, от сварочных аппаратов, мощных переключателей); изменения напряжения питания прибора или температурных режимов отдельных элементов.

Совершенно естественно, что, описывая объекты материального мира в виде чисел, сами измерительные устройства, процедуры измерений и результат измерений подвергаются математическому анализу. В частности, для анализа погрешностей используется аппарат теории вероятности и математической статистики. Это большой раздел математики, дающий колоссальные возможности для анализа случайных величин и процессов. Но мы кратко рассмотрим только необходимые для понимания дальнейшего материала минимальные сведения.

3.3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

3.3.1 Вероятности событий

Теория вероятностей и математическая статистика рассматривают случайные события. Под случайным событием понимается любое событие, которое может произойти или не произойти в процессе наблюдения. Примеры: самолет может прилететь по расписанию, а может и задержаться; устройство измерений может быть исправно или нет в момент его проверки; урожай зерновых может быть больше прошлогоднего, а может быть и меньше (или таким же); день может быть солнечным или пасмурным и т.д.

Обычно случайные события рассматриваются в некоторой взаимосвязи. Например, для получения достоверных измерений необходимо, чтобы были исправны все измерительные устройства (случайные события), исправны источники электропитания и компьютер, управляющий работой измерительных устройств. Чтобы рассмотреть совместно разнородные события необходимо ввести для них единую меру. Такой мерой является вероятность события.

Под вероятностью события А понимается предел, к которому стремится отношение числа n благоприятных исходов опытов к их общему числу N при стремлении N к бесконечности.

. (3.5)

Очевидно, что число благоприятных исходов для разных ситуаций может быть разным. Например, если проводить эксперименты по самопроизвольному взлету кирпича с земли на 5 этаж, то при любом числе экспериментов n = 0. И вероятность такого события равна 0. Такое событие называется невозможным событием. А если каменщик случайно роняет кирпичи, то при любом N число падений кирпича на землю n = N. Вероятность такого события равна 1 и оно называется достоверным событием. Все возможные события располагаются от невозможного до достоверного.

Из сказанного можно сделать два вывода.

Во – первых, теория вероятности оперирует только большим количеством событий. Уникальное явление не может быть проанализировано методами теории вероятности. Например, отказ одного средства измерений ничего не говорит о надежности других устройств; измеренный рост одного человека не характеризует рост остальных жителей России и т.д.

Во – вторых, мерой случайного события является вероятность его появления, которая принимает значения в интервале от 0 до 1:

0 ≤ Р ≤ 1. (3.6)

3.3.2 Несовместные события

Если события А, В, С могут появляться при проведении N наблюдений, но никогда не появляются одновременно в одном наблюдении, подобные события называются несовместными.

Поясним сказанное примером. Допустим, на артиллерийском орудии установлена дальность стрельбы 2 км. По многим причинам (направление и сила ветра; погрешность в массе пороха; погрешность в массе и форме снаряда) точки падения снарядов рассеиваются в области примерно удаленного от орудия на 2 км. Под событием А будем понимать попадание снарядов в окружность радиусом 10 м вокруг точки теоретического попадания (2 км); под событием В – попадание в кольцо, ограниченное радиусами от 10 до 20 м; событие С - попадание в кольцо, радиусами от 20 м до 40 м.

Если из N = 100 выпущенных снарядов n₁ = 10 попало в окружность, радиусом 10 м, то будем считать, что 10 раз реализовалось событие А; вероятность его Р (А) = 0,1. Аналогично, если в первое кольцо (событие В) попало n₂ = 20 снарядов из 100, то Р(В) = 0,2; во второе кольцо (событие С) попало n₃ = 40 снарядов, то Р(С) = 0,4. Совершенно очевидно, что снаряды, упавшие в пределах окружности, не могут принадлежать одновременно кольцу и наоборот. Следовательно, события «попадание в окружность; попадание в первое кольцо; попадание во второе кольцо» являются несовместными.

Если по поражающей способности снаряда удовлетворительным считается попадание в окружность, радиуса 40 м, то события А, В и С являются благоприятными исходами стрельбы. Вопрос: чему равна вероятность попадания снаряда, если вероятности событий А, В и С известны?

Считаем по формуле (3.5):

Р(А или В или С) = (n₁ + n₂ + n₃) / N = n₁/ N + n₂ / N + n₃ / N =

= Р(А) + Р (В) + Р(С) = 0,1 + 0,2 + 0,4 = 0,7.

Полученный результат означает, что вероятность поразить цель одним выстрелом составляет 0,7, а с вероятностью 0,3 может иметь место промах.

Условно логическое сложение (А или В или …) заменяют знаками суммы (при этом необходимо помнить, что события не суммируются в арифметическом смысле, поскольку это не числа). При этом последнее выражение приобретает вид:

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С). (3.7)

То есть: вероятность суммы независимых событий равна сумме вероятностей этих событий. А поскольку вероятности обычные числа, то над ними можно производить любые математические операции.

И последнее: если к вероятности попадания прибавить вероятность промаха (два несовместных события), то общая вероятность будет равна единице. Сумма событий, общая вероятность которых равна 1, называется полной группой событий.