Часть 6: финансовая математика: процентные

ПЛАТЕЖИ И АННУИТЕТЫ

1. Сущность процентных платежей

Представим себе, что владелец капитала (банк) предоставляет его

на определенный срок и рассчитывает получить доход от этой сделки.

Такое поведение можно описать следующей формулой

S P I ,

(Ф. 25),

где

S = Sum – полная наращенная сумма (полная стоимость предостав-

ленного кредита);

P = Payment Amount – платеж или сумма капитала, предоставляе-

мого в кредит;

I = Interest Amount – величина дохода владельца капитала (его ин-

терес в кредитовании).

Теперь, размер ожидаемого дохода владельца капитала зависит от

трех основных факторов:

1) величины капитала, предоставляемого в кредит (чем больше P ,

тем больше I );

2) срока кредита (чем больше t , тем больше I );

3) величины ссудного процента или процентной ставки за кредит

(чем больше r , тем больше I ).

Процентная ставка характеризует доходность кредитной сделки.

Она показывает, какая доля от суммы выданного кредита будет возвра-

щена владельцу капитала в виде дохода. Поэтому процентная ставка

рассчитывается как отношение дохода, полученного за определенный

период (чаще всего год), к величине капитала, предоставленного в кре-

дит.

I

r

P n (Ф. 26),

где

r = interest rate – процентная ставка (м.б. выражена % или долях

единицы);

n = number of periods – число периодов предоставления суммы ка-

питала (м.б. годы, месяцы, кварталы, декады, недели, дни).

70

Из предыдущей формулы можно вывести суммарную величину до-

хода:

I P r n (Ф. 27)

Существуют различные методы начисления процентов. Основное

их различие сводится к тому, что принимается за базу, на которую про-

исходит начисление. Эта база может оставаться постоянной в течение

всего периода или постоянно меняться. В зависимости от этого разли-

чают следующие методы начисления процентов: простые и сложные

проценты. Рассмотрим каждый из них поподробнее

2. Простые проценты

2.1. Вычисление наращенных сумм на основе простых процентных

ставок

Сущность метода начисления по простым процентам сводится к

тому, что проценты начисляются в течение всего срока кредита на одну

и ту же базу - величину капитала, предоставляемого в кредит.

По условиям кредитного договора проценты могут выплачиваться

кредитору или по мере их начисления в каждом периоде, или совместно

с основной суммой долга по истечении срока контракта. В последнем

случае сумма, получаемая кредитором, называется наращенной суммой

( S ).

Формула определения наращенной суммы с использованием про-

стых процентов (формула простых процентов) может быть выведена

следующим образом:

S P I P P r n P (1 r n)

(Ф. 28)

В этом случае выражение (1 r n) – множитель наращения про-

стых процентов

В случае, когда срок финансовой сделки не равен целому числу

лет, периоды начисления процентов выражают дробным числом:

t

n

T (Ф. 29),

где

t = число дней продолжительности сделки;

T = временная база (число дней в году).

Таким образом:

71

1

t

S P r

T (Ф. 30)

Когда проценты начисляются на первоначальную сумму кредита в

конце периода, а затем добавляются к ней, чтобы получить наращенную

сумму, то такой метод начисления процентов называется декурсивным

(последующим).

2.2. Вычисление наращенной суммы на основе простых учетных

ставок

Наряду с декурсивным методом существует антисипативный

(предварительный) метод начисления процентов. Его суть сводится к

тому, что проценты начисляются в начале расчетного периода, при этом

за базу (100%) принимается сумма погашения долга (S). В этом случае

применяется не процентная, а учетная ставка (d). Расчет наращенной

суммы производится по следующей формуле:

;

(1 );

S P S n d

P S S n d S n d

1

;

1

S P

n d

(Ф. 31)

2.3. Определение сроков ссуды.

В процессе подготовки кредитного договора, когда согласованы

его основные параметры (сумма погашения долга S, процентная ставка r

или учетная ставка d, величина ссуды P), срок погашения ссуды опреде-

ляется по формуле выводимой следующим способом:

S P (1 r n);

1

S

n P

r (Ф. 32)

В случае с учетной ставкой формула выводится следующим обра-

зом:

72

1

;

1

1 ;

S P

n d

P

n d

S

1

P

S

n

d (Ф. 33)

В заключении отметим, что применение простой схемы начисления

процентов используется в основном в краткосрочных финансовых сдел-

ках, т.е. сделках со сроком исполнения до 1 года. В ситуациях, когда

сроки исполнения сделок являются среднесрочными (2-5 лет) и долго-

срочными (5-50 лет) чаще переходят к начислению процентов по слож-

ной схеме. Далее именно ей и будет уделено основное внимание.