4. Аннуитеты

Последовательность из n одинаковых регулярных денежных пото-

ков по одному в каждом периоде называется аннуитетом. В таком слу-

чае денежные поступления аннуитет можно обозначить следующим об-

разом:

77

1 2 ... n CF CF CF CF

4.1. Виды аннуитетов

По времени наступления платежей различают два типа аннуитета:

Обыкновенный (постнумерандо) аннуитет – когда платежи происхо-

дят в конце каждого периода.

Авансовый (пренумерандо) аннуитет – когда платежи происходят в

начале каждого периода.

По продолжительности денежного потока различают:

1. Срочный аннуитет – денежный поток с равными поступлениями в

течение ограниченного промежутка времени.

2. Бессрочный аннуитет – когда денежные поступления продолжа-

ются достаточно длительное время.

4.2. Будущая стоимость обыкновенного и авансового аннуитета

Будущая стоимость аннуитета – это сумма будущих стоимостей

всех его денежных потоков

1

1

2

2

(1 ) ;

(1 ) ;

...

n

n

n

FV CF r

FV CF r

FV CF

Если переписать члены этого ряда в обратном порядке, то можно

увидеть, что это есть геометрическая прогрессия, в которой первый

член равен a1= CF, а знаменатель прогрессии равен q= (1+r). Сумма

членов геометрической прогрессии определяется по формуле:

1 1

1

n

n

a q

S

q (Ф. 44)

Подставив в эту формулу данные по обыкновенному аннуитету по-

лучим:

(1 ) 1 (1 ) 1

(1 ) 1

CF r n n r

FVA CF

r r (Ф. 45)

В случае авансового аннуитета (например, выплата аренды за квар-

тиру или платежи за кредит в начале месяца), будущая стоимость аван-

сового аннуитета будет рассчитываться по следующей формуле:

78

(1 ) 1

(1 )

n r

FVA CF r

r (Ф. 46)

4.3. Текущая стоимость обыкновенного и авансового аннуитета

Текущая (приведенная) стоимость обыкновенного аннуитета скла-

дывается из дисконтированных стоимостей входящих в него денежных

потоков. Так как первый денежный поток приходит в конце периода, а

мы дисконтируем к началу периода, то:

1 2 2

; ; ... ;

1 (1 ) (1 )

n n

CF CF CF

PV PV PV

r r r

Таким образом, сумма этих дисконтированных стоимостей денеж-

ных потоков:

1 2

1

1

... ;

1

n t

n

t

PV PV PV CF

r

Мы снова видим, что это – геометрическая прогрессия, где первый

член равен 1

(1 )

CF

a

r

, а знаменатель прогрессии равен 1

1

q

r

. Поэтому,

следуя той же формуле суммы геометрической прогрессии, подставляем

эти данные и получаем итоговую формулу:

1

1

(1 )

;

n r

PVA CF

r (Ф. 47)

Соответственно, для авансового аннуитета текущая стоимость бу-

дет равна:

1

1

(1 )

(1 );

n r

PVA CF r

r (Ф. 48)

4.4. Текущая стоимость бессрочного аннуитета

Рассмотрим специфику оценки текущей стоимости бессрочного

аннуитета, т.е. при n . Коэффициент дисконтирования:

1

1 1

;

1

n t

t r r

Тогда:

79

1

PVA CF

r (Ф. 49)

80

Часть 7: расчеты по кредитным операциям в рос-сийской федерации

1. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРЕДИТОСПОСОБНОСТИ ЗАЕМЩИКОВ – ФИ-ЗИЧЕСКИХ ЛИЦ

Кредитование физических лиц осуществляется банками в соответ-ствии с нормативными документами ЦБ РФ [4, 5] и внутрибанковскими инструкциями и правилами. Один из важнейших вопросов, который решает кредитный инспектор, заключается в определении кредитоспо-собности заемщика – физического лица. Кредитоспособность показыва-ет, какая максимальная сумма кредита может быть предоставлена заем-щику с учетом его доходов, предоставленного обеспечения по кредиту, имущественного положения и других характеристик. Методы оценки кредитоспособности заемщиков – физических лиц можно разделить на две группы:

- количественные методы оценки кредитоспособности – основаны на установлении жесткой формальной зависимости между сред-немесячным доходом заемщика и максимальным размером креди-та;

- качественные методы оценки кредитоспособности – предполагают проведение анкетирования заемщика, бальную оценку каждого ответа заемщика и определение максимальной суммы кредита в зависимости от суммы набранных баллов.

Рассмотрим эти методы оценки кредитоспособности заемщиков – физических лиц более подробно.

2. РАСЧЕТ КРЕДИТОСПОСОБНОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ СРЕДНЕМЕ-СЯЧНОГО ДОХОДА ЗАЕМЩИКА

Данный метод предполагает, что доход заемщика покрывает еже-месячные платежи по кредиту и определенная часть дохода остается в распоряжении заемщика для финансирования текущих расходов. Расчет кредитоспособности зависит от способов гашения кредита, используе-мых банком. Рассмотрим два основных способа гашения кредита:

– дифференцированные платежи по кредиту;

– аннуитетные платежи по кредиту.

Дифференцированные платежи по кредиту – это ежемесячные платежи по кредиту, состоящие из фиксированной суммы гашения ос-новного долга и процентных платежей, начисляемых на остаток непо-гашенной ссудной задолженности:

81

12

S 1 i

T

S

П

n

д

(Ф. 50),

где:

Пд – ежемесячный платеж по кредиту;

S – первоначальная сумма кредита;

T – срок кредита в месяцах;

Sn-1 – оставшаяся сумма задолженности по кредиту после предыду-

щего платежа;

i – процентная ставка по кредиту, (в процентах годовых).

Отметим, что сумма гашения основного долга постоянна (S/T =

const), а сумма процентов (второе слагаемое формулы Ф. 50) ежемесяч-

но уменьшается по мере гашения основного долга.

С другой стороны, платеж по кредиту связан с доходом заемщика

соотношением:

П К Д , (Ф. 51),

где:

К – понижающий коэффициент, показывающий, какая доля дохода

заемщика направляется на гашение кредита. Этот коэффициент может

составлять 70-90% доходов заемщика, причем, чем выше доход заем-

щика, тем выше коэффициент;

Д – чистый среднемесячный доход заемщика (за вычетом налогов и

других обязательных платежей, в том числе платежей по полученным

ранее кредитам и предоставленным поручительствам). В некоторых

случаях (при кредитовании на приобретение недвижимости) в расчет

может приниматься сумма доходов супругов или сумма доходов супру-

гов и их родителей

Приравнивая выражения Ф. 50 и Ф. 51 и ориентируясь на макси-

мальный платеж по кредиту, который будет в первом месяце, когда

S n 1 S получаем формулу расчета кредитоспособности заемщика по

первому платежу:

)

12

1

(

i

T

К Д S

(Ф. 52),

T

i

К Д T

i

T

К Д

S

12

1

12

1

max

(Ф. 53),

82

Задача 1.

Определить максимальную сумму кредита, первый последний и

средний платежи по кредиту, если чистый среднемесячный доход заем-

щика составляет 15 тыс. руб., срок кредита – 15 лет, процентная ставка

– 18% годовых, понижающий коэффициент – 0,7.

Решение.

510 ,8 . .

180

12

0,18

1

0,7 15 180

max S тыс руб

Первый платеж определяется по формуле Ф. 50:

Пд = 510,8/180 + 510,8*0,18/12 = 2,84 + 7,66 = 10,5 тыс. руб.

При расчете последнего платежа учитываем, что S n 1 S / T :

Пд = 510,8/180 + 510,8/180*0,18/12 = 2,84 + 0,04 =2,88 тыс.

руб.

Средний платеж = (10,5+2,88)/2 = 6,7 тыс. руб.

Однако такой метод расчета сильно ограничивает как возможности

заемщика по получению кредита, так и возможности банка по предос-

тавлению кредита. В конце срока платежи по кредиту составляют толь-

ко 20% доходов заемщика и, вероятно, заемщик мог бы погасить боль-

ший по размеру кредит. Поэтому наравне с формулой расчета кредито-

способности по первому платежу (1.4) используется и формула расчета

кредитоспособности по среднему платежу (1.6):

1 1 1 /

12 2

i T

К Д S

T (Ф. 54),

max

1 1 1 / ( 1)

1

12 2 24

К Д К Д T

S

i T i T

T

(Ф. 55),

Задача 2.

Определить максимальную сумму кредита, первый последний и

средний платежи по кредиту по условиям задачи 1, используя формулу

расчета кредитоспособности по среднему платежу.

Решение.

801 ,7 . .

24

0,18 (180 1)

1

0,7 15 180

max S тыс руб

83

Первый платеж определяется по формуле Ф. 50:

Пд = 801,7/180 + 801,7*0,18/12 = 4,45 + 12,02 = 16,47 тыс.

руб.

При расчете последнего платежа учитываем, что S n 1 S / T :

Пд = 801,7/180 + 801,7/180*0,18/12 = 4,45 + 0,07 =4,52 тыс.

руб.

Средний платеж = (16,47+4,52)/2 = 10,5 тыс. руб.

Максимальная сумма кредита значительно возрастает и этот метод

используется банками для определения кредитоспособности заемщика

при небольших сроках кредитования. Однако применение данного ме-

тода при долгосрочном кредитовании невозможно, так как платежи по

кредиту в первые месяцы могут превысить доходы заемщика (по усло-

вию задачи доход заемщика 15 тыс. руб.., а первый платеж – 16,47

тыс.руб.).

Дифференцированные платежи по кредиту неудобны при долго-

срочном кредитовании, поэтому банки стали активно применять способ

гашения кредита, основанный на аннуитетных платежах.

Аннуитетные платежи по кредиту – это ежемесячные платежи по

кредиту, равные в течении всего срока гашения кредита, и включаю-

щие в себя платеж по основному долгу и уплату процентов, начислен-

ных на остаток непогашенной ссудной задолженности. (Применение

аннуитетных платежей при долгосрочном кредитовании рекомендовано

п.2.2 Концепции развития системы ипотечного жилищного кредитова-

ния в РФ []).

% Г аш ен и е о сн о вн о го д о л га а П co n st

(Ф. 56),

Проценты всегда уплачиваются в полном объеме и поначалу со-

ставляют основную часть платежа. Однако по мере гашения основного

долга их сумма уменьшается. Гашение основного долга в первые меся-

цы крайне незначительно, но по мере уменьшения остатка ссудной за-

долженности и уменьшения процентных платежей оно увеличивается.

Считая, что гашение кредита происходит ежемесячно в один и тот

же день, сумму кредита можно определить через современную величину

ренты:

/ 12

1 (1 / 12 )

i

i

S Па

T

(Ф. 57),

Отсюда с учетом формулы Ф. 51 получаем:

84

T

i

S i

Па

1 (1 / 12 )

/ 12

(Ф. 58),

(1 (1 / 12 ) )

12

max

T

i

i

К Д

S

(Ф. 59),

Задача 3.

Определить максимальную сумму кредита, первый последний и

средний платежи по кредиту по условиям задачи 1, если гашение креди-

та осуществляется по методу аннуитетных платежей.

Решение.

(1 (1 0,18 / 12 ) ) 652 . .

0,18

0,7 15 12

max

180

S тыс руб

Первый платеж определяется по формуле Ф. 58:

10 ,5 . .

1 (1 0,18 / 12 )

652 0,18 / 12

180

Па тыс руб

,

в том числе:

уплата процентов = 652*0,18/12=9,78 тыс.руб.;

гашение основного долга = 10,5 – 9,78 = 0,72 тыс.руб.

Последний платеж равен первому и среднему платежу, каждый из

них составляет 10,5 тыс.руб. Однако соотношение между уплатой про-

центов и гашением основного долга меняется. Для последнего платежа

их можно определить из уравнения:

х + x*0.18/12 = 10.5,

где х – гашение основного долга при последнем платеже.

Получаем:

гашение основного долга – 10,34 тыс. руб.,

уплата процентов – 0,16 тыс.руб.

Таким образом, при использовании аннуитетных платежей макси-

мальная сумма кредита, которая может быть предоставлена заемщику,

оказалась значительно больше, чем в задаче 1, а платежи по кредиту не

превышают 70% доходов заемщика. Однако и у аннутетных платежей

есть недостаток, который заключается в крайне медленном гашении ос-

новного долга и больших расходах заемщика на уплату процентных

платежей, которые не уменьшают основной долг по кредиту. В резуль-

тате, выплатив одинаковую в абсолютном выражении сумму в погаше-

ние кредита (средний платеж в задачах 2 и 3 составляет 10,5 тыс. руб., и

срок кредита одинаков – 180 месяцев), заемщик в задаче 2 получил и

израсходовал кредит почти на 150 тыс.руб. больше, чем в задаче 3. Этот

85

недостаток нивелируется, если заемщик имеет право досрочно гасить

кредит без штрафных санкций.

В целом, количественные методы оценки кредитоспособности по-

зволяют математически обосновать размер кредита в зависимости от те-

кущего уровня дохода заемщика, однако они не учитывают другие фак-

торы, влияющие на кредитоспособность и доход заемщика. Поэтому их

целесообразно дополнять анализом всей имеющейся информации о за-

емщике, месте его работы, источниках доходов заемщика. Также банки

используют так называемые стоп-факторы, т.е. факторы, которые явля-

ются основанием для отказа в кредите независимо от дохода заемщика

(например, стаж работы менее 1 года, наличие просроченных кредитов в

других банках, плохая кредитная история и т.д.).