3. Сложные проценты

3.1. Логика исчисления

Основное отличие сложных процентов от простых заключается в

том, что база для начисления процентов меняется от одного отчетного

периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов

добавляется к капиталу предыдущего периода, и начисление процентов

производится уже на эту новую базу.

В этом случае процесс наращения капитала течет не равномерно, а

с ускорением. Он описывается не математической, а уже геометриче-

ской прогрессией.

Способ вычисления процентных платежей по сложным процентам

иногда называется вычислением «процента на процент».

Механизм наращения первоначальной суммы капитала (базы на-

числения процентов) по сложным процентам называют капитализацией.

Различают годовую, квартальную, месячную и ежедневную капитализа-

ции.

Также как и при вычислении простых процентов, выделяют два

способа начисления сложных процентов: декурсивный (последующий)

и антисипативный (предварительный).

Рассмотрим декурсивный метод расчета сложных процентов.

В конце 1-го периода (года) наращенная сумма равна:

73

1 S P P r P (1 r );

В конце 2-го периода (2-го года) проценты начисляются уже на на-

ращенную сумму:

2

2 S P (1 r ) P (1 r ) r P (1 r ) (1 r ) P (1 r ) ;

и т.д., т.е. в конце n-го периода наращенная сумма будет равна:

(1 ) ; n

n S P r

(Ф. 34)

Использование в финансовых вычислениях простых и сложных

процентов дает неодинаковые результаты. Различия между ними обу-

словлены сроком сделок. Так при равной величине простых и сложных

процентных ставок п р cл r r при сроке ссуды менее 1 года, наращенная,

сумма, вычисленная по простым процентам будет больше наращенной

суммы, рассчитанной по сложным процентам и наоборот.

При n<1 года (1 ) (1 ) n

п р сл n r r

При n>1 года (1 ) (1 ) n

п р сл n r r

3.2. Проценты за дробное число лет

Нередко срок финансовой сделки выражен дробным числом (a –

целое число лет; b – дробная часть года). В подобных случаях прибега-

ют к смешанному начислению процентов:

(1 ) 1 a S P r r b

(Ф. 35)

3.3. Номинальная ставка процентов и внутригодовая капитализа-

ция процентов

Часто в финансовых сделках бывают ситуации, когда оговаривает-

ся годовая процентная ставка и количество начислений процентов в го-

ду.

Если начисление процентов происходит чаще, чем 1 раз в год (на-

пример, раз в полугодие, квартал, месяц и т.д.), то в кредитном или де-

позитном договоре прописывается номинальная годовая ставка про-

центов и указывается число периодов (m) начисления (капитализации)

процентов в году. Например, если n i =12%, то при m=2 за год происхо-

дит два начисления процентов, т.е. раз в полгода. Причем за каждый пе-

риод начисляется только половина n i , т.е. 6%. При m=4 – проценты ка-

питализируются 4 раза в год, т.е. раз в квартал, а при m=12 – раз в ме-

сяц. При этом за каждый период начисляется по 3% и 1% соответствен-

74

но. Таким образом, за каждый период 1

m

, начисляется

m

in процентов и

происходит их капитализация. В итоге можно вывести следующую

формулу сложных процентов при внутригодовой капитализации.

1 1

n m N

n n r r

S P P

m m (Ф. 36)

N – общее число периодов начисления за весь период финансовой

операции.

Не трудно заметить, что при m=1 формула превращается в класси-

ческую формулу сложных процентов

1 1

n m

n n

n

r

S P P r

m

3.4. Вычисление наращенных сумм на основе сложных антисипа-

тивных процентов

Следуя логике начисления простых антисипативных процентов, в

случае сложных антисипативных процентов выводим формулу:

1

2 2

1

1

1 1 1

1 1 (1 )

S P

d

S P P

d d d

1

(1 )

n n

S P

d (Ф. 37)

3.5. Эквивалентные проценты

В общем, эквивалентные ставки это такие ставки, при которых по-

следствия финансовых сделок окажутся равноценными.

Рассмотрим ситуацию. Один банк начисляет проценты по вкладам

по простой ставке, а другой – по сложной. При каких значениях простой

и сложной ставки клиент, вкладывающий деньги на депозит получит на

выходе одну и ту же сумму дохода? Иначе говоря, как определить экви-

валентную сложную ставку для простой и наоборот?

При начислении процентов по сложной ставке, с возможностью

внутригодовой капитализации:

1

nm

сл

сл

r

S P

m

При начислении процентов по простой ставке:

75

1 пр пр S P r n

Эквивалентность подразумевает, что накопленные суммы по пер-

вой и второй схеме должны быть одинаковыми. Следовательно:

1 1

1 1

сл п р

nm

сл

п р

nm

сл

п р

S S

r

P P r n

m

r

r n

m

Тогда можно выразить сл i через п р i и наоборот:

nm 1 1

сл п р r r n m

(Ф. 38)

1 1

nm

с л

п р

r

m

r

n (Ф. 39)

3.6. Номинальная и эффективная (действительная) ставка процен-

тов

Эффективная или действительная ставка измеряет тот реальный

относительный доход, который получает кредитор за год. Она отвечает

на вопрос: какую годовую ставку сложных процентов необходимо уста-

новить, чтобы получить тот же финансовый результат, как и при m-

разовом начислении процентов по номинальной ставке. Таким образом

взаимосвязь эффективной и номинальной ставки процентов можно вы-

разить следующей формулой:

1 1

n m

n

н о м

эф

i

i

m

(Ф. 40)

Не трудно заметить, что эффективная ставка в этом случае будет

больше номинальной.

3.7. Реальная стоимость будущих накоплений с учетом инфляции и

реальная ставка процентов

Реальная стоимость будущих накоплений с учетом инфляции пока-

зывает ценность будущей суммы, которую мы получим по окончании

76

сделки, но глазами настоящего момента. Эта величина имеет виртуаль-

ную природу, т.е. ее нельзя потрогать. Чтобы оценить ее мы попытаемся

привести будущую сумму (S) к настоящему моменту, продисконтировав

ее на величину инфляции за рассматриваемый период.

(1 ) n

S

Sr

i

1

(1 )

п р о ст n

P r n

Sr

i (Ф. 41)

1

(1 )

n m

сл ож n

r

P

m

Sr

i (Ф. 42),

где,

Sr = реальная (дисконтированная на величину инфляции) стои-

мость будущей накопленной суммы.

п р о ст Sr = реальная стоимость будущих накоплений, полученных по

простой ставке процентов

слож Sr = реальная стоимость будущих накоплений, полученных по

сложной ставке процентов

i = темп инфляции.

Реальная ставка процентов отвечает на вопрос: какой была бы эф-

фективная ставка процентов если бы не было инфляции? Она логично

вытекает из вышеуказанных формул эффективной ставки и реальной

стоимости будущей накопленной суммы по сложным процентам и рас-

считывается следующим образом:

1

1

1

эф

р еа л

r

r

i (Ф. 43)