4.2. Статистична оцінка кореляційного зв'язку між показниками, які контролюються

Вибіркове значення коефіцієнта парної кореляції за початковими статистичними даними визначається по формулам

(4.1)

або через середні

, (4.2)

де та .

Оцінка значущості вибіркового коефіцієнта парної кореляції між показниками, що контролюються, визначається за формулою

, (4.3)

де п - кількість парних значень.

Якщо виявиться, що розрахункове значення менше процентної t_α% точ­ки розподілу Стьюдента певної ймовірності Р (значущості α=Р−1) з степенем свободи п−2 (t_α;п-2), то нульова гіпо­теза (гіпотеза про відсутність кореляційного зв'язку) приймаєть­ся ( ˂ t_0,05;п-2 ), якщо ж ˃ t_0,05;п-2 , то кореляційний зв'язок статистично значущий.

Приклад 4.1. В [28] визначали вміст продуктів окислення ліпідів у смажених м'ясних виробах: малонового діальдегіду (МД), карбонильних сполучень (КС) та α, α' -дікарбонильних сполучень (ДС) фотометричним способом. В табл. 4.1 приведені середні значення результатів при трьохкратній повторності фізико-хімічних аналізів у процесі зберігання їх протягом 6 місяців при -18 ^оС.

На рис. 4.1 подані кореляційні поля парних залежностей на пло­щині з координатами: а) МД - КС; б) МД - ДС; в) КС - ДС.

Таблиця 4.1 − Оптична густина розчинів продуктів окислення жирів швидкозаморожених смажених м'ясних виробів

№ п / п	Малоновий діальдегід (МД)			Карбонільні сполучення (КС)			α, α' - дікарбонильні сполучення (ДС)
	Антрекот	Біф-штекс січе-ний	Січена котле-та	Антрекот	Біф-штекс січе-ний	Січена котле-та	Антрекот	Біф-штекс січе-ний	Січена котле-та
1	0,174	0,192	0,165	0,245	0,228	0,252	0,080	0,112	0,093
2	0,174	0,187	0,164	0,247	0,241	0,253	0,083	0,108	0,082
3	0,174	0,194	0,165	0,249	0,246	0,254	0,092	0,114	0,091
4	0,175	0,248	0,164	0,252	0,265	0,251	0,100	0,185	0,107
5	0,274	0,375	0,198	0,271	0,278	0,279	0,171	0,354	0,159
6	0,352	0,451	0,269	0,300	0,309	0,315	0,438	0,457	0,375
7	0,367	0,463	0,310	0,305	0,325	0,318	0,455	0,506	0,409

Як видно, зв'язок між вказаними показниками прямий (із збільшенням одного показника, збільшується інший показник), фор­ма зв'язку близька до лінійної.

Враховуючи те, що графіки парної залежності показали лінійну форму кореляційного зв'язку, для оцінки тісноти цього зв'яз­ку приймемо коефіцієнт кореляції.

Рисунок 4.1 – Кореляційні поля оптичної щільності розчинів продуктів окислення жирів швидкозаморожених жарених м’ясних виробів

Дані для обчислення лінійного коефіцієнта кореляції по (4.2) приведені в таблиці 4. 2.

Таблиця 4.2 – Результати статистичних обчислень кореляції показників накопичення продуктів окислення жирів (МД – КС)

№ п/п і	МД	КС	di ×103		di2 ×106		(dx×dy) ×106
	x×103	y×103	dx=(xi- )	dy=(yi- )	dx2	dy2
1	0,174	0,245	- 75	-26	5625	676	1950
2	0,174	0,247	- 75	-24	5625	576	1800
3	0,174	0,249	- 75	-22	5625	484	1650
4	0,175	0,252	- 74	-19	5476	361	1406
5	0,274	0,271	25	0	635	0	0
6	0,352	0,300	103	29	10609	841	2987
7	0,367	0,305	118	34	13924	1156	4012
8	0,192	0,228	- 57	-43	3249	1849	2451
9	0,187	0,241	- 62	-30	3844	900	1860
10	0,194	0,246	- 55	-25	3025	625	1375
11	0,248	0,265	- 1	- 6	1	36	6
12	0,375	0,278	126	7	15876	49	882
13	0,451	0,309	202	38	40804	1444	7676
14	0,463	0,325	214	54	45796	2916	11556
15	0,165	0,252	- 84	-19	7056	361	1596
16	0,164	0,253	- 85	-18	7225	324	1530
17	0,165	0,254	- 84	-17	7056	289	1428
18	0,164	0,251	- 85	-20	7225	400	1700
19	0,198	0,279	- 51	8	2601	64	- 408
20	0,269	0,315	20	44	400	1936	880
21	0,310	0,318	61	47	3721	2209	2867
	5235	5683			195458	17496	49204

= 249×10³ ; = 271×10³ ; .

Значення коефіцієнта кореляції близьке до одиниці, це свідчить про досить тісний позитивний (прямий) кореляційний зв'язок.

Підтвердимо статистичну значущість вибіркового коефіцієнта парної кореляції між показниками, що контролюються, визначивши розрахункове значення оцінки по формулі (4.3)

.

Коефіцієнт Стьюдента при рівні значущості α = 0,05 та степені свободи ν = п-2 ( t_{0,05; 19} ) дорівнює 1,73 (додаток 4).

Із приведених даних виходить, що розрахункове значення у 3,5 рази перевищує критичне значення коефіцієнта Стьюдента. Зна­чить статистичний зв'язок між показниками, що контролюються, статистично значущий.

Приклад 4.2. У [9] вивчався вплив оброблення кулінарних частин м’яса на якість смажених мілкошматкових м’ясних виробів. Середні значення показників, що контролювались, для різних зразків м’ясних виробів приведені в таблиці 4.3.

Таблиця 4.3 – Показники якості мілко шматкових смажених м’ясних виробів із яловичини (типу «шашлик»)

Найменування кулінарних частин та вид обробки напівфабрикатів	Трива-лість смаження, хв.	Втрати маси при сма женні,%	Зусил-ля різан-ня, Н	ВУЗ, % до зага льної вологи	Вміст глю-тину, мг%
Вирізка	10,64	35,56	7,85	20,25	60,35
Найдлінший м’яз спини:
пушений немаринований	17,13	36,03	12,56	17,65	72,31
непушений маринований	16,21	35,05	11,77	18,45	77,50
пушений маринований	13,19	32,98	8,24	22,35	89,40
Верхній шматок тазостегнового відрубу:
пушений немаринований	20,03	37,15	15,00	16,77	75,34
непушений маринований	18,86	35,85	13,83	18,95	81,25
пушений маринований	14,93	34,13	10,89	21,60	93,17
Верхній шматок тазостегнового відрубу:
пушений немаринований	18,95	35,88	14,42	15,38	76,47
непушений маринований	18,07	36,51	12,85	16,96	80,45
пушений маринований	14,93	35,07	10,30	22,05	92,74

На рисунку 4.2 наведені кореляційні поля залежності експериментальних значень показників втрат маси (ВМ, %) і зусилля різання (ЗР, Н) виробів від тривалості теплової обробки (τ, хв.). Як видно, і в першому, і в другому випадках кореляційна залежність позитивна і має лінійну форму.

Рисунок 4.2 − Кореляційні поля залежності втрат маси та зусилля різання від тривалості обробки виробів

На рисунку 4.3 наведено кореляційне поле залежності експери­ментальних значень показників вологоутримуючої здатності (ВУЗ, %) та вмісту глютину (Гл, мг%). За характером кореляційного поля важко зробити однозначний висновок про напрямок і форму зв’язку між показниками, що досліджувалися.

Рисунок 4.3 − Кореляційне поле парної залежності показників (ВУЗ - вміст глютину) смажених м'ясних виробів

В таблицях 4.4 та 4.5 приведені результати обробки експеримен­тальних даних розрахунку лінійного коефіцієнта кореляції за фор­мулою (4.2).

Таблиця 4.4 – Результати статистичних обчислень кореляції показників смажених м’ясних виробів

№ п / п	Тривалість обробки, хв. х	Зусилля різання, Н у1	Втрати маси, % у2	dx=(xi- )	dy1= (y1- )	dy2= (y2- )	dx2	dy12	dy22	(dx×dy1)	(dx×dy2)
1	10,64	7,85	35,56	-5,65	-3,92	0,14	31,92	15,36	0,02	22,15	-0,74
2	17,13	12,56	36,03	0,84	0,79	0,61	0,71	0,62	0,37	0,66	0,51
3	16,21	11,77	35,05	-0,08	0	-0,42	0,01	0	0,18	0	0,03
4	13,19	8,24	32,98	-3,10	-3,53	-2,44	9,61	12,46	5,95	10,94	7,56
5	20,03	15,00	37,15	3,74	3,23	1,73	13,99	10,43	2,99	0,08	6,47
6	18,86	13,83	35,85	2,57	2,06	0,43	6,60	4,24	0,18	5,29	1,11
7	14,93	10,89	34,13	-1,36	-0,88	-1,29	1,85	0,77	1,66	1,20	1,75
8	18,95	14,42	35,88	2,66	2,65	0,46	7,08	7,02	0,21	7,05	1,22
9	18,07	12,85	36,51	1,78	1,08	1,09	3,17	1,17	1,19	1,92	1,94
10	14,93	10,30	35,07	-1,36	-1,47	-0,35	1,85	2,16	0,12	2,00	0,48
	162,94	117,71	354,16				76,79	54,23	12,87	63,29	20,33

Таблиця 4.5 − Дані статистичних розрахунків для обліку коефіцієнта кореляції

№ п/п	Вміст глютину, мг% x	ВУЗ, % y	dx=(xi- )	dy=(yi- )	dx2	dy2	(dx×dy)
1	60,35	20,25	-18,55	1,21	344,10	1,46	-22,45
2	72,31	17,65	- 6,59	-1,39	43,43	1,93	9,16
3	77,50	18,45	-1,40	0,56	1,96	0,35	0,83
4	89,40	22,35	10,55	3,31	110,25	10,96	34,76
5	75,34	16,77	- 3,56	-2,27	12,67	5 15	8,08
6	81,25	18,95	2,35	-0,09	5,52	0,01	- 0,21
7	83,17	21,60	4,27	2,56	18,23	6,55	10,93
8	76,47	15,38	- 2,43	-3,66	5,90	13,40	8,89
9	80,45	16,96	1,55	-2,08	2,40	4,33	- 3,22
10	92,74	22,05	13,84	3,01	191,55	9,06	41,66
	788,98	190,41			736,01	53,20	88,43

Значення коефіцієнта парної кореляції для показників якості смажених м'ясних виробів та їх статистична оцінка за формулою (4.3):

зусилля різання - тривалість смаження

= 0,981 ; 14,30 ;

втрати маси - тривалість смаження

0,647 ; 2,40 ;

водоутримуюча здатність – вміст глютину

0,447 ; 1,58 .

Кореляційний зв'язок між зусиллям різання та тривалістю смаження можна характеризувати як сильний, між втратами маси та три­валістю смаження - як середній, а між ВУЗ та вмістом глютину для смажених мілкошматкових м'ясних виробів - як слабкий.

Значення коефіцієнта Стьюдента для рівня значущості α = 0,05 та степеня свободи, який дорівнює восьми ( ν =п-2), складає 1,86 (додаток 4).

14,30 > 1,86 ; 2,40 > 1,86 ; 1,58 < 1,86 .

Як видно, кореляційний зв'язок між показниками ВУЗ - глютин із значенням коефіцієнта кореляції 0,447 статистично незначущий при певній ймовірності 0,95, але значущий при певній ймовірності 0,90, коли t_0,1;8 = 1,40.

Приклад 4.3. В [8] одержані середні значення (п = 15) якісних показників обкачувальних продуктів, які представлені в таблиці 4.6.

Таблиця 4.6 − Мікробіологічні та фізико-хімічні показники якості обкачувальних продуктів

Найменування продуктів	Загальний вміст мік-роорганізмів в 1 г (lg N)	Воло-гість, %	Золь-ність, %	Загаль-на кислот-ність, град.	рН водної витяж-ки
Сухарі обкачувальні	5,8	9,6	0,93	5,47	5,40
Борошно пшеничне 1 с	5,1	12,7	0,67	3,06	5,45
Борошно пшеничне 1 с пасероване	3,8	5,1	0,70	2,66	5,35
Картопляні пластівці	4,2	6,5	2,96	2,56	6,95
Суміш обкачувальна (картопляні пластівці та пасероване борошно 2:3)	3,9	5,6	1,55	2,32	6,12

Визначимо коефіцієнт парної кореляції виміряних показників (кількість мікроорганізмів - вологість), виходячи з характеру кореляційного поля, представленого на рисунку 4.4. Дані статистичних розрахунків приведені в таблиці 4.7.

Рисунок 4.4 − Кореляційне поле експериментальних даних показників якості обкачувальних продуктів

Таблиця 4.7 − Дані статистичних розрахунків коефіцієнта кореляції (вологість - lg N)

№ п/п	Воло-гість, % x	lg N y	dx=(xi- )	dy=(yi- )	dx2	dy2	(dx×dy)
1	9,6	5,8	1,7	1,2	2,89	1,44	2,04
2	12,7	5,1	4,8	0,5	23,04	0,25	2,40
3	5,1	3,8	-2,8	-0,8	7,84	0,64	2,24
4	6,5	4,2	-1,4	-0,4	1,96	0,16	0,56
5	5,6	3,9	-2,3	-0,7	5,29	0,49	1,61
	39,5	22,8			41,02	2,98	8,85

= 7,9 ; = 4,6 .

0,800 ; 2,309 .

t_{0,05; 3} = 2,353 ˃ = 2,309 .

Так як розрахункове значення менше табличного значен­ня коефіцієнта Стьюдента, коефіцієнт кореляції 0,800 статистично незначний при певній ймовірності 0,95.

Аналізуючи одержані коефіцієнти кореляції та їх статистичні оцінки, можна зробити висновок, що величина коефіцієнта не може характеризувати тісноту кореляційного зв'язку. Як свідчать одержані результати, коефіцієнт із значенням 0,647 характеризує ста­тистично значущу кореляційну залежність, а коефіцієнт з більшим значенням (0,800) виявляється статистично незначущим, тобто го­ворити про кореляційний зв'язок в останньому випадку треба з ве­ликою обережністю. Кореляційний зв'язок між вологістю та мікроб­ною обсіюваністю обкачувальних продуктів статистично значущий при надійності 1-α = 0,9; у цьому випадку більше табличного значення t_0,1;3 = 1,64.

Приклад 4.4. Досліджували [28] статистичний зв'язок між деякими одиничними органолептичними показниками швидкозаморожених антрекотів при розігріванні їх різними способами. Середні зна­чення органолептичних показників приведені в табл. 4.8.

Таблиця 4.8 − Органолептична оцінка якості швидкозамороженого виробу "антрекот" після розігрівання, бал

Найменування показників	Традиційний розігрів	Мікрохвильовий розігрів
	t=150…200оС τ=15…20 хв.	N=100% τ =50 с	N=60% τ =70 с	N=100% τ = 60 с імпульсна пода-ча НВЧ- енергії	N=60% τ =50 с розморожені вироби	N=60% τ =50 с в атмо-сфері вологої пари
Зовнішній вигляд	4,45	3,25	5, 0	5,0	5,0	5,0
Колір	4,44	3,25	3, 25	3,75	3,75	3,25
Запах	8,38	9,75	10,0	10,0	10,0	10,0
Смак	14,41	14,45	15,0	15,0	14,75	15,0
Консистенція	7,84	8,25	8, 25	8,25	8,0	8,25
Соковитість	3,86	3,25	3, 25	4,25	4,0	4,0
Всього	43,38	42,50	44,75	46,25	45,50	45,50

Результати обробки даних для визначення лінійного коефіцієнта кореляції між консистенцією, зовнішнім виглядом та сокови­тістю виробів представлені в табл. 4. 9.

Таблиця 4.9 − Результати статистичних обчислень кореляції органолептичних показників

№ п / п	Кон-сис-тенція х	Зов-нішній вигляд у1	Соко-ви-тість у2	dx	dy1	dy2	dx2	dy1 2	dy2 2	(dx×dy)	(dx×dy)
1	7,84	4,45	3,86	-0,30	-0,17	0,09	0,09	0,03	0,01	0,05	-0,03
2	8,25	3,25	3,25	0,11	-1,37	-0,52	0,01	1,88	0,27	-0,15	-0,06
3	8,25	5,00	3,25	0,11	0,38	-0,52	0,01	0,14	0,27	0,04	-0,06
4	8,25	5,00	4,25	0,11	0,38	0,48	0,01	0,14	0,23	0,04	0,05
5	8,00	5,00	4,00	-0,14	0,38	0,23	0,02	0,14	0,05	-0,05	-0,03
6	8,25	5,00	4,00	0,11	0,38	0,23	0,01	0,14	0,05	0,04	0,03
	48,84	27,70	22,61				0,15	2,47	0,88	-0,03	-0,10

= 8,14 ;

= 4,62 ;

= 3,77 .

Коефіцієнти парної кореляції та їх статистична оцінка:

зовнішній вигляд - консистенція

−0,05 ;

соковитість – консистенція

−0,275 ; 0,572 .

Кореляційний зв'язок між зовнішнім виглядом та консистенцією розігрітих антрекотів відсутній (значення коефіцієнта кореля­ції близьке до нуля). Між соковитістю та консистенцією розігрі­тих антрекотів встановлений статистично незначущий слабкий зворотний кореляційний зв'язок, оскільки розрахункове значення оцінки менше табличного значення коефіцієнта Стьюдента (t_0,05;4 = 2,13).

При відхиленні залежності, яка досліджується, від лінійного виду коефіцієнт кореляції r втрачає свій сенс. У таких випадках використовують індекс кореляції, який показує яка частка мінливості залежної (результуючої) ознаки, що нас цікавить, зумовлюється мінливістю описуючої її функції незалежної змінної величини (чинної ознаки).

, (4.4)

де - повна дисперсія результуючої ознаки;

- дисперсія функції регресії, яка описує залежність результуючої ознаки від чинникової.

Повна дисперсія складається з дисперсії функції , яка контролюється нами, та з не підлягаючої нашому контролю дисперсії залишкової випадкової компоненти

= + . (4.5)

Звідки

= − . (4.6)

Підставивши значення із (4.6) в (4.4), одержимо

. (4.7)

Сенс дисперсій, що розглядаються, розберемо за допомогою рисунку 4.5, на якому наведено графік, одержаний в результаті вирівнювання фактичних значень результуючої ознаки у по параболі другого порядку в залежності від значення чинникової ознаки х .

Якби рівні ознаки у не відчували ніякого впливу з боку оз­наки х, то, залишаючись постійними, вони могли б бути представ­лені прямою лінією, паралельною осі х, і мали б значення у . Але насправді видно, що фактичні значення (у₁, у₂, ..., у₅) відрізняються від середнього рівня на величину різниці (у₁ - ) > (у₂ - ) та ін.

Рисунок 4.5 − Дисперсії, що виникають при кореляції

Середня із квадратів усіх цих різниць буде характеризувати всі відхилення фактичних даних від середньої та представляє собою загальну дисперсію

. (4.8)

З іншого боку, видно, що різниці, які розглядаються, складаються з двох частин: . (Див., наприклад, при х =1).

Перша частина − має місце тому, що вирівняні значення у по х ( ) відрізняються від середнього рівня ( ) саме в наслідку впливу ознаки х, тобто ці різниці - це результат дії х на у. Середня з квадратів даних різниць характеризує варіацію ознаки у за рахунок ознаки х і являє собою дисперсію функції регресії

. (4.9)

Друга частина (у₁ - у_:) має місце тому, що на рівні у діють ознаки, крім ознаки х. Отже, середня з квадратів цих різ­ниць буде характеризувати варіацію, яка відбувається за рахунок всіх ознак, крім х (тобто за винятком х), і являє собою залишкову дисперсію

. (4.10)

У випадку лінійної залежності між ознаками х та у індекс кореляції чисельно дорівнює лінійному коефіцієнту кореляції.

У багатьох випадках, коли форма зв'язку між ознаками х та у відрізняється від лінійної, для приблизної оцінки тісноти зв'яз­ку застосовується не індекс кореляції, а коефіцієнт кореляції через відносну простоту його обчислення. При цьому коефіцієнт кореляції у випадку лінійного зв'язку декілька занижує резуль­тат.

Слід враховувати, що розрахунок індексу кореляції вимагає попереднього вирівняння по обраному дослідником рівнянню регресії. Тому індекс кореляції, насправді, слід розглядати не тільки як показник тісноти кореляційного зв'язку між ознаками, які вивчаються, але і як показник близькості лінії регресії до фактичних даних.

Якщо характер вибіркових даних (кількість, "щільність" розташування на площині) допускає їх групування по осі чинникової ознаки (х) і можливість підрахунку так званих "окремих" се­редніх ординат ( ) у середині кожного (і-го) інтервалу групу­вання, рекомендується за показник тісноти кореляційного зв'язку використовувати кореляційне відношення. Його обчислення не обтяжене ніякими додатковими припущеннями відносно загального вигляду регресійної залежності

. (4.11)

Вибіркова дисперсія функції регресії обчислюється за формулою

, (4.12)

де п - обсяг вибірки;

k - кількість інтервалів групування по осі абсцис;

m_i - кількість вибіркових точок, потрапивших у i-й інтервал групування;

- середнє значення ординат точок, потрапивших у і-й інтервал групування:

; (4.13)

- загальне середнє

. (4-14)

Вибіркова дисперсія індивідуальних результатів спостережень навколо загального середнього у обчислюється за формулою

. (4.15)

Виражене в процентах кореляційне відношення показує, наскільки процентів загальна варіація залежить від групувальної ознаки.

Кореляційне відношення, як було сказано вище, може бути застосовано під час вивчення тісноти прямолінійного та криво­лінійного зв'язку між ознаками х та у, що вивчаються. У пер­шому випадку його називають коефіцієнтом кореляції, у другому - індексом кореляції. Кореляційне відношення має завжди позитивне значення. Кореляційне відношення ρ_у/х та ρ_х/у не дорівнює одне одному (ρ_у/х ≠ ρ_х/у ).

Яку величину кореляційного відношення можна визнати такою, що статис­тично значущо відрізняється від нуля, тобто достатньою для ста­тистично обґрунтованого висновку про наявність кореляційного зв'язку між параметрами, які досліджуються?

Якщо виявиться, що

. (4.16)

то гіпотеза про відсутність кореляційного зв'язку між у та х відкидається з рівнем значущості α .

− 100 %-а точка F-розподілу (розподілу Фішера) з кількістю свободи чисельника k-1 та знаменника п-k (k - кількість інтервалів групування).

Приклад 4.5. Згрупуємо дані щодо вмісту малонового діальдегіду та карбонильних сполучень у смажених м'ясних виробах, які пред­ставлені в таблиці 4.1 або таблиці 4.2, вважаючи першу ознаку чинниковою, у чотири групи з довжиною інтервалу 0,1: 0,1...0,2; 0,2...0,3; 0,3...0,4; 0,4...0,5. Результати обробки експериментальних даних для розрахунку кореляційного відношення представлені в таблиці 4.10.

Таблиця 4.10 − Дані статистичних обчислень кореляційного відношення

i	Інтервал	j	xij ×103	уij ×103
1	0,1…0,2	1	164	251	250	-21	441	-20	400
		2	164	253				-18	324
		3	165	254				-17	289
		4	165	252				-19	361
		5	174	245				-26	676
		6	174	247				-24	576
		7	174	249				-22	484
		8	174	252				-19	361
		9	187	241				-30	900
		10	192	228				-43	1849
		11	194	246				-25	625
		12	198	279				8	64
2	0,2…0,3	1	248	265	284	13	169	- 6	36 ;
		2	269	315				44	1936
		3	274	271				0	0
3	0,3…0,4	1	310	318	300	29	841	47	2209
		2	352	300				29	841
		3	367	305				34	1156
		4	375	278				7	49
4	0,4…0,5	1	451	309	317	46	2116	38	1144
		2	463	325				54	2916
		21	5235	5683					17496

= 5683/21 = 271 ;

= (12×250+3×284+4×300+2×317)/(12+3+4+2) = 271

Дисперсія функції регресії (4.12):

1/21× (12×441+3×169+4×841+2×2116) ×10⁻⁶ = 638×10⁻⁶ .

Загальна дисперсія (4.15)

1/21 × 17496×10⁻⁶ = 833×10⁻⁶

Кореляційне відношення (4.11)

= 0,875 .

Значення величини кореляційного відношення показує, що вміст карбонільних сполучень у смажених швидкозаморожених м'ясних ви­робах на 87,5% зумовлено вмістом в них малонового діальдегіду і на 12,5% залежить від інших неврахованих чинників.

Оцінимо статистичну значущість одержаного кореляційного відношення по (4.16).

V_ρ² = 0,875² / (1-0,875²) × (21-4) / (4-1) = 18,55 .

5%-а точка F-розподілу з кількістю свободи чисельника ν₁= k−1 =4-1=3 та знаменника ν₂ = n−k = 21-4 = 17 має значення 3,197 (додаток 10).

Оскільки V_ρ² = 18,6 > = 3,2 , то одержане значення кореляційного відношення статистично значуще з рівнем достовірності 0,95 (1-α).

Кореляційне відношення разом із середніми та дисперсіями випадкових величин х та у складає ті п'ять параметрів, які дають вичерпні дані про стохастичну залежність величин, що досліджуються, так як однозначно визначають їх двомірний закон розподілу.

Навіть якщо вдалось встановити тісну залежність між двома величинами, що досліджуються, звідси ще безпосередньо не слідує їх причинна взаємозумовленість.

Однак, зауваження про необхідність певної обережності при тлума­ченні кореляційного зв'язку, ніяким чином не знецінює бажаність перевірки значущості будь-якого співвідношення, що здається.

*

* *

Розглянуті доступні методи оцінки зв'язку між двома випадковими величинами, що контролюються в експерименті. Особливість цих величин в тому, що вони можуть бути виміряні з тою чи іншою похибкою, але керувати ними, тобто задавати їм визначені значен­ня і підтримувати на визначеному рівні - це не в волі експери­ментатора.

Встановлені зв'язки дають можливість дослідникові проводити більш переконливий предметно-логічний аналіз питання, яке вивча­ється. Форма кореляційного зв'язку, статистична оцінка тісноти його можуть служити підставою для подальшого застосування методів регресійного аналізу з метою встановлення кількісних співвідно­шень, які використовуються для прогнозу значень показників, що досліджуються.

Розділ 5. Регресійний аналіз