1.4. Вибірковий метод дослідження

Будь-яке дослідження, що нами проводиться, по своїй суті є вибірковим, так як воно передбачає обстеження обмеженої кількості одиниць спостереження.

Вибірковий метод – це система наукових принципів випадкового відбору певної частини сукупності, яка представляла б усю сукупність і характеристики якої слугували б надійною основою статистичного висновку.

Сукупність, з якої відбираються елементи для обстеження, називають генеральною, а сукупність, яку безпосередньо обстежують, - вибірковою. Статистичні характеристики вибіркової сукупності розглядаються як оцінки відповідних характеристик генеральної сукупності.

Вибір одиниць спостереження для вивчення властивостей сукупності можна проводити таким чином:

- шляхом обстеження всіх одиниць сукупності (суцільне обсте­ження, наприклад, під час перепису населення країни);

- шляхом обстеження заздалегідь визначеної частини одиниць всієї сукупності, вибраної із неї відповідно до деяких суб'єк­тивних міркувань. (Наприклад, якість других м'ясних страв, що го­туються в заводській їдальні, можна охарактеризувати на основі дослідження якості січених котлет, які включаються до меню найчастіше);

- шляхом обстеження деякої частини всієї сукупності (вибірки), що випадково взята. За результатами цієї вибірки за допо­могою визначених правил робляться висновки про всю сукупність.

Якщо дослідник проводить направлений відбір, то одержані результати гірше відображують всю сукупність, ніж результати, одержані при випадковому відборі.

Ряд спостережень інтерпретується як випадкова вибірка з деякої генеральної сукупності, тобто експериментальні (або спостережені) значення випадкової величини, що аналізується. Для статистичної обробки цього ряду застосовують класичні математико-статистичні методи (методи статистичного оцінювання невідомих параметрів, методи перевірки статистичних гіпотез та ін.).

За такої (ймовірнісної) інтерпретації вихідних статистичних даних до полю зору дослідника одночасно попадають дві сукупності об'єктів: яка реально спостерігається, статистично представлена рядом спостережень типу х₁, х₂, ... , х_п (тобто вибірка), та тео­ретично домислена (так звана генеральна сукупність).

Основні властивості та характеристики вибірки, які назива­ються емпіричними (або вибірковими), можуть бути проаналізовані та обчислені по статистичним даним, які є (х₁, х₂, ... , х_п). Ос­новні властивості і характеристики генеральної сукупності, які називаються теоретичними, невідомі дослідникові. Призначення математико-статистичних методів саме в тому і полягає, щоб за їх допомогою одержати найточніше уявлення про ці теоретичні власти­вості та характеристики сукупності за відповідними властивостями та харак­теристиками вибірок.

Під вибірковим методом розуміють всю проблематику, яка пов'язана з відбором одиниць, обчисленням характеристик вибірки, а також з одержанням математико-статистичних висновків про су­купність, із якої ця вибірка взята.

Характеристики, що одержані для вибірок, називають статис­тиками. Кожна статистична характеристика вибірки являє со­бою оцінку відповідної характеристики сукупності.

Якщо взяти до уваги, що й при суцільному обстеженні немож­ливо отримати "істинну величину" без помилок, а міра цих помилок невідома, то вибірковий метод має ряд переваг по відношенню до суцільного обстеження, що й призвело до широкого застосування вибіркового методу в останні роки. Вибіркові обстеження незамінні там, де обстеження всіх одиниць сукупності заборонено, на­приклад, якщо це пов'язано з руйнуванням або зі зміненням власти­востей, що відбувається під час випробувань матеріалів або під час контролю якості продукції.

Вибірковий метод, крім інших, має ще одну важливу пе­ревагу - математична статистика дає змогу розрахувати ступень точності, з яким дані вибіркового обстеження відображають відповідні властивості сукупності. Оскільки точність вибіркового методу суттєво залежить від обсягу вибірки, тобто від кількості обстежених одиниць, то під час планування та підготовки вибірко­вого обстеження повинна бути, перш за все, вирішена проблема визначення необхідного обсягу вибірки.

Мета застосування вибіркового методу дослідження - отриман­ня можливості судити про характеристики всієї сукупності. Тобто за ре­зультатами вибірки потрібно зробити статистичний висновок про сукупність. У зв'язку з цим виникає проблема, з якою вірогідністю можна переносити результати вибірки на сукупність?

За способом організації вибірки розрізняють [5]:

• власно випадковий відбір, орієнтований на вибірку одиниць із генеральної сукупності без усякого розчленування на частини та групи. При цьому, для додержання основного принципу вибірки - рівної можливості всім одиницям генеральної сукупності бути відібраними, використовуються таблиці випадкових чисел (або випадкові числа, генеровані ЕОМ);

• механічний відбір, під час якого сукупність розподіляється на стільки груп, скільки одиниць повинно ввійти до вибірки, і з кожної групи відбирається одна одиниця;

• серійний відбір полягає у вибірці не одиниць сукупності, а деяких груп сукупностей однакових обсягів (серій); серії, що потрапили до вибірки, підлягають суцільному спостереженню;

• комбінований відбір, при використанні якого комбінуються різноманітні методи. Спочатку, наприклад, відбираються серії, а потім із відібраних серій проводиться індивідуальна вибірка одиниць.

Різновидом випадкового відбору може служити систематичний відбір - відбір одиниць з упорядкованої множини одиниць су­купності проходить систематично через рівні проміжки.

Число називається інтервалом систематичного відліку (крок відліку), де - частка вибірки. Наприклад, f = 5% (0,05), с = 1/0,05 = 20.

За заданого інтервалу відбору довільним залишається відбір першої одиниці, яка відбирається за допомогою таблиць випадкових чисел. Якщо, наприклад, першою добутою виявилась одиниця з номе­ром і ( і < с ), то при систематичному відборі вибірка буде складатись з одиниць з номерами і, і+с, і+2с, і+3с, ..., і+(п-2)с, і+(п-1)с, де п – кількість відібраних одиниць. Наприклад, 7, 27, 47, 67, ..., 7+13×20 = 267, 7+14×20 = 287 при п = 15.

Мінливість ознаки у одиниць вибірки виміряється за допомогою вибіркової дисперсії

(1.15)

та вибіркового середнього квадратичного відхилення

. (1.16)

Так як п одиниць вибірки відібрані із сукупності з додержанням принципу випадковості, то сумарне значення ∑х_і та середнє значення являють собою випадкові величини.

Стандартна помилка оцінки складає

, при . (1.17)

Стандартна помилка як міра розсіву являє собою одночасно міру точності оцінювання істинного середнього значення су­купності. Стандартна помилка при інших рівних умовах збільшу­ється зі збільшенням обсягу сукупності та прямує до межі ( ) зменшується із зменшенням середнього квадратичного відхилення ознаки ( ), тобто із збільшенням однорідності ознаки, що спостерігається.

Для порівняння результатів різних вибірок доцільно розглядати коефіцієнти варіації оцінок, тобто відносні стандартні по­милки: вибірковий коефіцієнт варіації

(1.18)

та коефіцієнт варіації середнього

. (1.19)

Коефіцієнт варіації середнього вказує, скільки процентів від істинного значення (яке повинно бути оцінене) складає стан­дартна помилка оцінки.

При дуже великому обсязі сукупності ( , ) резуль­тат оцінювання може бути представлений за допомогою оцінок та їх стандартних помилок:

; (1.20)

. (1.21)

Стандартна помилка оцінки дає цілком реалістичне уявлення про порядок величини можливого відхилення оцінки від істинного значення. Однак цілком може трапитись, що дійсне відхилення виявиться більше ніж стандартна помилка.

Гранична помилка вибірки за малих обсягів вибірки (п < 20...30), тобто максимальне віддалення оцінки від параметра X (Х - середнє значення генеральної сукупності) при певній ймовір­ності 1- дорівнює

, (1. 22)

де - квантилі t - розподілу (розподіл Стьюдента) для ймовір­ності помилки (додаток 2).

Певний інтервал з рівнем певної ймовірності 1- α буде такий.

{ < X < } . (1.23)

Якщо виходити з того, що сировинною основою кулінарної про­дукції є біологічні об'єкти, то при статистичній оцінці результатів технологічних досліджень не можуть застосовуватись більш суворіші вимоги до їх надійності, ніж це прийнято в біологічних дослідженнях.

Так, у [13] вказується, що для одержання в біо­логічних дослідженнях статистично значної середньої величини, необхідно довести, що середня генеральної сукупності з певною ймовірністю 0,95 потрапляє до інтервалу, який складає 5 ... 10 % від вибіркової середньої ( ). Тому при обробці експериментальних да­них з технології продуктів ресторанного господарства рекомендуєть­ся задаватися рівнем певної ймовірності 0,90...0,95 (рівень значущості або ймовірність помилки відповідно 10...5 %), з граничною помилкою, що складає 10 ... 12% від середньої.

На стадії планування вибіркового обстеження важливо вибрати такий обсяг вибірки, який допоміг би уникнути:

• одержання через дуже великий обсяг вибірки надмірної та непотрібної точності результатів ціною великих затрат при підготовці та проведенні обстежень;

• одержання через надто малий обсяг вибірки неточних оцінок, які виявляються практично неприйнятними.

При прямому оцінюванні середніх значень за допомогою випад­кового відбору, обсяг вибірки (п) - єдина впливаюча на точність оцінки величина, якою володіє дослідник. В цьому випадку обсяг вибірки вважається заданим і формули для кількісної характеристи­ки точності оцінки виводяться в залежності від п.

Часто перед дослідником стоїть зворотна задача - за заданим показником точності оцінки визначити обсяг вибірки для досягнен­ня бажаного ступеня точності. При цьому обсяг вибірки повинен забезпечувати ступень точності не менший (можна більший), ніж потрібно.

Оскільки із збільшенням обсягу вибірки точність зростає, одержане розраховане значення його повинно розглядатися як нижня межа можливого обсягу. Результат будь-якої вибірки обсягу п ≥ п_розр. задовольняє заданим вимогам до ступеня точності.

При , за заданою точністю стандартної помилки середньої оцінки ( ) обсяг вибірки розраховується за формулою:

; (1.24)

за заданої граничної помилки вибірки ( ) обсяг вибірки розраховується за формулою:

. (1.25)

У формули (1.24) та (1.25) необхідно ввести оцінки . Їх значення можна одержати, якщо:

• навмисне з метою визначення середнього квадратичного відхилення провести попереднє пробне обстеження результатів вибірки з малим обсягом;

• використати дані про середнє квадратичне відхилення з попередніх або подібних обстежень;

• оцінити середнє квадратичне відхилення, приймаючи гіпотезу про визначений розподіл ознаки у всіх одиниць сукупності (При нормальному розподілі = 0,194×(х_max – x_min)).

Приклад 1.3. Якого обсягу повинна бути вибірка, щоб (з рів­нем певної ймовірності 0,955) відносна гранична помилка складала не більше ніж 2%, якщо відомо, що коефіцієнт варіації ознаки для всієї сукупності складає 0,1 (10%) ?

Якщо чисельник і знаменник у формулі (1.25) поділити на середнє значення вибірки , одержимо рівняння для рішення задачі.

Таким чином, обсяг вибірки повинен мати не менше 100 спостережень.

В таблиці 1.1 приведені мінімальні обсяги вибірок при різних значеннях граничних помилок та коливальності величин, які виміряються (при 1- α = 0,955).

Таблиця 1.1 - Мінімальні обсяги вибірок при різних значеннях граничних помилок та коливальності величин, які вимірюються (Р=0,955)

Відносна гранична помилка , %	5	5	5	5	2	2	2
Коефіцієнт варіації Vx , %	12,5	10	7	5	7	5	2
Обсяг вибірки п , од.	25	16	8	4	49	25	4

За американських вимог під час контролю якості харчових продуктів число повторних хімічних аналізів рекомендується визначати за допомогою методів математичної статистики згідно до формули

, (1.26)

де А_х - коефіцієнт, що вказує наскільки ціна проби вище вартості аналізу;

S_a - стандартне відхилення паралельних аналізів однієї проби (похибка аналітичного методу);

S_p - стандартне відхилення аналітичних показників.

, (1.27)

де d_i - різниця між паралельними аналізами однієї проби;

п - кількість проб.

, (1.28)

де d_p - різниця між результатами двох проб;

N - кількість пар проб.

Якщо значення стандартного відхилення взятих проб (S_p) значно перевищує значення, що одержують при аналітичному ме­тоді (S_a), можна стверджувати, що абсолютно недоцільно як застосування точних аналітичних методів, так і повторення аналізів кожної окремої проби.

У [13] показано, що для одержання прийнятої в біології надійності (0,95) необхідно ставити не менше ніж 6-7 дослідів. Очевидно, що така кількість дослідів достатня і для технологіч­них експериментів.

*

* *

Кожне дослідження, що супроводжується вимірюванням, містить у собі помилки. Їх можна розділити на грубі, які повинні бути виключені при аналізі одержаного результату, систематичні, які не залежать у більшості випадків від волі експериментатора, та випадкові, які неможливо виправити, але врахувати їх вплив на оцінку істинного значення величини, що вимірюється, можливо. Для цього і застосовуються методи теорії ймовірності та математичної статистики.

Застосування цих методів передбачає свою термінологію, яка використовується для аналізу експериментального матеріалу. У цьому розділі викладено той мінімальний понятійний апарат, який у подальшому полегшить засвоєння матеріалу інших розділів.

Розділ 2. Первинна математико-статистична обробка експериментальних даних в технології продуктів ресторанного господарства