1.2. Випадкові величини та їх статистична характеристика

Поняття випадкової величини є одним з центральних понять теорії ймовірності. Під випадковою величиною розуміється величина, що приймає в результаті досліду будь-яке числове значення. Характеристиками випадкової величини, які найчас­тіше використовують, є її математичне очікування (або середнє значення) та дисперсія.

Математичне очікування або середнє значення є абсциса цент­ру ваги даної системи матеріальних точок, заданої значеннями х₁, х₂, х_і,..., х_n. Середнє значення є найкращою оцінкою вели­чини х :

Середня величина є узагальнюючою характеристикою сукупності значень, в якій знаходить свій вираз дія загальних умов, закономірність даного масового явища. Умовами застосування середніх величин є: наявність якісно однорідної сукупності та достатньо великий її обсяг.

Використовують декілька видів середніх: середня арифметична, середня гармонічна, середня геометрична, середня квадратична. Кожна із зазначених середніх може набувати дві форми: просту і зважену. Якщо середня обчислюється за первинними (не згрупованими) даними, застосовується проста форма, якщо за вторинними (згрупованими) – зважена.

Якщо всі п вимірів величини х проведені з однаковою точністю (виміри проводить один спостерігач, в однакових умовах, одним і тим же приладом або одним і тим же методом), найкращою оцінкою істинного значення величини, що вимірюється, є проста се­редня (арифметична):

, ( 1.3)

де n - кількість вимірювань величини х ;

х_і - значення величини в і-му вимірюванні.

Для прикладу 1.1. визначення вмісту натрію в манній каші:

= (257,2+169,7+216,0+209,1+233,4+223,7+193,0+

+190,6+185,0+181,5) / 10 = 205,9.

Якщо дані згруповані або виміри не є рівноточними, але відомі ваги вимірювань, то як оцінка істинного значення вимірюваної величини х використовується зважене середнє арифметичне значення:

, (1.4)

де - вага і-х вимірювань величини х, значення яких зворотно пропорційне квадрату стандартної помилки. Необхідно звернути увагу на те, що зважене середнє арифметичне залежить не від самих вагів , , … , , а від їх відношень.

Часто результати, що обробляються, являють собою не результати безпосередніх вимірювань, а середні в серіях вимірів, проведених з однією й тією ж точністю, але при різних кількостях вимірів у кожній серії. У цьому випадку кожному значенню можна приписати як ваги кількість вимірів у відповідній серії:

р_і = т_і ( і = 1, 2, ... , п ) , (1.5)

де т_і – кількість вимірів у кожній серії із середнім значен­ням .

Приклад 1.2. Були одержані середні значення комплексного показника якості таких м'ясних страв:

гуляш із яловичини - 0,945 (п = 13);

яловичина в кисло-солодкому соусі - 0,963 (п = 6);

печінка по-строганівськи - 0,983 (п = 8);

тюфтельки з ялови­чини в соусі - 0,953 (п = 10).

Значення комплексного показника якості м'ясних тушкованих страв буде середньозважене значення:

= (13 0,945 + 6 0,963 + 8 0,983 + 10 0,953) / (13+6+8+10) =

= 35,457 / 37 = 0,958.

Не можна охопити всі характерні риси сукупності об'єктів, що вивчається, лише однією середньою. Поряд з визначенням середньої величини виникає питання про варіацію значень ознаки, про ступінь їх коливання в даній сукупності.

Для вимірювання та оцінки варіації використовують абсолютні та відносні характеристики.

Дисперсія - це середній квадрат відхилення випадкової величини від середньої арифметичної (математичного очікування). Дис­персія є мірою коливання ознаки.

. (1.6)

Дисперсію використовують не лише для оцінки варіації, а й при вимірюванні взаємозв’язків, для перевірки статистичних гіпотез тощо.

Середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення) - це позитивне значення квадратного кореня із дисперсії. Середнє квадратичне відхилення кількісно інтерпретується як міра можливого відхилення виміряного значення величини від свого матема­тичного очікування (середнього значення). Таким чином, стандартне відхилення результатів вимірів х₁, х₂ , ... , х_п - це оцін­ка середньої похибки результатів вимірів х₁, х₂ , ... , х_п .

. (1.7)

Середнє квадратичне відхилення - стандарт, виражене в тих же одиницях вимірювання, що і значення величин, є абсолютною величиною. Воно завжди більше середнього лінійного відхилення ( > ).

. (1.8)

Розмах варіювання (широта розсіяння, амплітуда коливання) являє собою різницю між екстремальними значеннями величини, яка вимірюється,

. (1.9)

Стандартне відхилення середнього (стандартна похибка середнього) дорівнює стандартному відхиленню, поділеному на .

. (1.10)

Коефіцієнт варіації − відносна величина , яка служить для характеристики коливання величини, що вимірюється, являє собою процентне відношення абсолютних величин: або розмаху варіювання (R), або середнього лінійного відхилення (ρ), або середнього квадратичного відхилення ( ) до середнього арифметичного зна­чення:

100% ; (1.11)

100% ; (1.12)

100% . (1.13)

Найчастіше вживається розрахунок коефіцієнта варіації за формулою (1.13), і якщо немає інших вказівок, то під коефіцієнтом варіації мають на увазі саме його.

У будь-якому реальному експерименті результати всіх вимірів попадають у деякий достатньо малий скінчений інтервал. Навіть після нескінченно великої кількості вимірів їх частка, що лежить поза цього інтервалу, буде повністю знехтуваною.

Із зростанням кількості вимірів до нескінченності, їх розподіл прямує до деякої визначеної безперервної кривої, яка називається граничним розподілом. Граничний розподіл - це теоретична ідеалізація, до якої ніколи неможна абсолютно точно наблизитись у експерименті. Чим більше вимірів ми робимо, тим гістограма їх розподілу стає ближче до граничного розподілу.

Частка кількості вимірів, яка попадає в інтервал між будь-якими значеннями х = а та х = b дорівнює площі під кривою між х = а та х = b і уявляє собою ймовірність того, що результат будь-якого одиничного виміру попаде в інтервал від х = а та х = b (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 – Графік граничного розподілу результатів вимірювання

Якщо на результат вимірювання має вплив велика кількість джерел невеликих випадкових помилок, а систематичні помилки зне­важливо малі, то виміряні значення розподіляються по дзвоноподібній кривій, центр якої буде істинним значенням. У математиці функція, графік якої, має форму дзвоноподібної кривої, називаєть­ся функцією нормального розподілу або функцією Гауса (рисунок 1.2).

Малі значення призводять до розподілу у вигляді гост­рого піка, який відповідає точним вимірам, в той час як великі значення дають широкий розподіл, який відповідає вимірам з малою точністю (рисунок 1.3).

Рисунок 1.2 − Графік нормального розподілу виміряних даних

Рисунок 1.3 − Графік нормального розподілу даних, які виміряні з різною точністю

Представляючи теоретичний еталон при вивчені побудови кри­вих розподілу, нормальний розподіл у точному його вигляді в практиці зустрічається досить рідко. Як правило, спостерігається більший чи менший відступ від кривої нормального розподілу. При одержанні асиметричних розподілів дослідник повинен намагатись відповісти на питання - чим викликаний переважний напрямок в той чи інший бік про­цесів, що вивчаються.

Ймовірність - міра об'єктивної можливості випадкової події. Математична ймовірність того, що подія А відбудеться, вимірюється відношенням кількості шансів (М), що сприяють даній події А, до загальної кількості сприятливих та несприятливих шансів (N):

Р_А - М / N . (1.14)

Ймовірність подій знаходиться у межах від нуля до одиниці (0 ≤ Р_А ≤ 1). Чим ближче ймовірність до одиниці, тим подія ймовірніша. Якщо яка-небудь подія має малу ймовірність (Р_А < 0,01), то при однократному вимірюванні можна практично вважати, що ця подія не відбудеться. Якщо подія має ймовірність, близьку до одиниці (Р_А > 0,99), то при однократному вимірюванні практич­но можна вважати, що ця подія відбудеться напевно.

Істинне значення величини, що вимірюється, можна оцінити не тільки точковим методом (з використанням , , , ), але й інтервальним методом. Він полягає у визначенні інтервалу, який містить істинне значення величини, що вимірюється, з заданою ймовірністю. Межі цього інтервалу, природно, повинні розраховуватись по визначеним правилам. Такий інтервал називається, певним, нижня та верхня межі інтервалу х_н та х_в - певними межами, ймовірність (1 - α) - певною ймовірністю або степенем надійності, α - ймовірністю помилки або рівнем значущості. Певна ймовірність вказує на те, що при повторені вимірів величини в середньому в (1 – α)×100% випадків значення дійсно покривається певним інтервалом.

При нормальному розподілі даних ймовірність того, що результат вимірів буде знаходитись у межах одного стандартного від­хилення середнього від істинного результату, складає 0,683 ( ). Ймовірність того, що результат вимірів буде знаходитись у межах 2 , дорівнює 0,955 ( ); ймовірність результату в межах 3 ( ) - 0,997. Ймовірність Р_А (в межах t× ) швидко прямує до 1 із зростанням t.

Ширина певного інтервалу Δ = х_в - х_н наочно показує точність оцінки. Чим більша ширина певного інтервалу, тим нижча точність оцінки.

Гранична похибка Δ = t× - це максимально можлива похибка для прийнятої ймовірності. Довірче число t вказує, як співвідносяться гранична та стандартна похибки. При малих вибірках (п ≤ 30) вентиль t визначають за розподілом імовірностей Стьюдента.