Практическое задание № 6

Принятие решения по максимизации прибыли на основе линейного программирования

Целью работы является определение оптимального объема производства по использованию ресурсов и максимизации прибыли предприятия.

Теоретические положения

Линейное программирование — вид математического моделирова­ния, который служит для поиска оптимального варианта распределе­ния ограниченных ресурсов между конкурирующими работами. Оно получило развитие после Второй мировой войны, и сфера его приме­нения расширялась параллельно с развитием компьютерной индуст­рии, поскольку его практическое использование требует больших вычислительных мощностей. Любая экономическая задача, связан­ная с максимизацией или минимизацией (т.е. оптимизацией) линей­ной целевой функции (например, функции прибыли, полной стои­мости или аналогичных экономических величин) и выраженная в форме комплекса линейных неравенств (например, ограничений по рабочей силе, материалам, капиталу или другим ресурсам), будет за­дачей линейного программирования. Линейное программирование с большим успехом используется для решения многих задач в области бизнеса, например:

• определение набора продуктов, отвечающих заданным ограни­чениям при минимальных затратах. Примерами служат задачи по со­ставлению марочной смеси бензопродуктов или набора продуктов питания, отвечающих заданным диетическим требованиям;

• определение оптимальных производственных линий и производ­ственных процессов. Примеры встречаются везде, где действуют ог­раничения на производственные мощности (например, на размер завода или на машинное время) и где принимаются решения о вы­пуске продукции при наличии ограничений на ресурсы;

• определение оптимальных маршрутов перевозок. В качестве примера можно привести фирмы, производственные предприятия и склады, размещенные далеко друг от друга и стремящиеся миними­зировать свои расходы на перевозки продукции от места производ­ства на склад.

Это только немногие примеры широкого класса задач, решае­мых методом линейного программирования. По масштабам своего использования это, вероятно, наиболее успешный и широко приме­няемый подход к решению задач о распределении ресурсов, что связано с развитием электронно-вычислительной техники, по­скольку сложные задачи линейного программирования требуют та­кого объема вычислений, на какой способна только современная ЭВМ. Поэтому большинство управляющих бизнесом, которым дей­ствительно необходимо решать задачи линейного программирова­ния, ограничиваются их постановкой и передают на решение техни­ческим специалистам. Вероятность ошибок уменьшается, если дан­ные сводятся в удобную для работы форму.

Линейное программирование может быть использовано только для решения задач, имеющих все четыре представленные далее ха­рактеристики:

• комплекс неотрицательных независимых переменных;

• одну и только одну цель, служащую функцией переменных (например, минимизация затрат или максимизация прибыли);

• наличие ограничений, налагающих пределы на достижение цели. Обычно они имеют вид верхнего или нижнего пределов для сочетания переменных;

• линейный характер количественных соотношений.

Для решения задач линейного программирования разработаны специальные методы: графический и симплексный.

Если имеется три переменных, то задача решается симплексным методом. Симплексный ме­тод может быть использован для решения задачи вручную, однако он лучше всего подходит для постановки решения задачи на ЭВМ.

Если имеются только две переменные, то можно исполь­зовать графический метод. Графический метод практически не используется для решения реальных задач линейного программирования, однако он очень по­лезен для разъяснения базовых концепций, методов и элементар­ной геометрии линейного программирования. Именно поэтому, прежде чем излагать алгебраическую технику симплексного метода, необходимо графически решить задачу с двумя переменными. Можно по­строить график для трех переменных, хотя это достаточно сложно. Модели с четырьмя и более переменными графическому решению не поддаются.

В настоящее время большинство задач линейного программирования решаются с помощью пакета Excel.

Последовательность действий по решению задачи графическим методом:

1. Определение переменных.

2. Определение целевой функции.

3. Определение ограничений.

4. Введение ограничений на значение переменных.

5. Построение горизонтальной и вертикальной оси графика.

6. Построение линии, отражающей первое ограничение.

7. Построение линии, отражающей второе ограничение.

8. Определение области допустимых решений.

9. Определение оптимального решения.

Задание и порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с теоретическими положениями по решению задачи линейного программирования графическим методом.

2. Определить оптимальный объем производства по использованию ресурсов и максимизации прибыли предприятия.

Предприятие производит и реализует два вида продукции X и Y. Для производства 1 кг продукции X требуется ресурс A и ресурс B, его реализация приносит прибыль C. Для производства 1 кг продукции Y также требуется ресурс A и ресурс B, а его реализация приносит прибыль D. Суммарный запас ресурсов A и B представлен в таблице. Определить объем производства, при котором прибыль предприятия будет максимальной.

Варианты заданий	Вид продук-ции	Ресурс на 1 кг продукции (кг)		Прибыль от реализации 1 кг продукции (руб.)	Суммарный запас ресурсов (кг)
		A	B	C (D)	A	B
1	X	3	8	6	40	60
	Y	7	9	11
2	X	5	3	5	70	50
	Y	6	8	9
3	X	5	3	5	75	55
	Y	7	8	10
4	X	5	3	7	65	50
	Y	5	9	12
5	X	3	5	7	70	45
	Y	8	4	6
6	X	5	6	9	85	60
	Y	9	5	6
7	X	9	4	10	90	75
	Y	6	6	12
8	X	8	5	9	75	80
	Y	6	7	8
9	X	6	5	4	55	60
	Y	4	6	7
10	X	7	3	6	80	45
	Y	4	9	8