6.5. Средняя гармоническая взвешенная
На основе следующих данных рассчитать среднюю заработную плату на одного работника:
Таблица 6.5
Заработная плата, руб. х |
Фонд оплаты труда, руб. m = х*f |
6 000 |
30 000 |
7 000 |
105 000 |
8 000 |
80 000 |
Для расчета средней заработной платы используется логическая формула
Численность работников неизвестна, но ее можно рассчитать, т. к. известны фонд оплаты труда и заработная плата на одного работника в каждой группе.
Средняя гармоническая взвешенная.
где m – готовое произведение вариант на соответствующие им частоты.
Таким образом, средняя гармоническая взвешенная применяется в том случае, когда представлены два ряда данных: варианты и произведения этих вариантов на соответствующие им частоты.
Если возникают затруднения в выборе средних величин, то используют следующие правила:
если при умножении вариант на показатели второго ряда данных получается показатель, имеющий экономический смысл, то применяется средняя арифметическая взвешенная;
если при делении одного ряда данных на соответствующие им варианты получается показатель, имеющий экономический смысл, то применяется средняя гармоническая взвешенная.
6.6. Структурные средние величины: мода и медиана
Мода (М0) – это наиболее часто встречающееся значение признака, т. е. значение варианты с наибольшей частотой. В дискретных и интервальных рядах моду рассчитывают по-разному.
В дискретных вариационных рядах для определения моды не требуется специальных вычислений - значение признака, которому соответствует наибольшая частота, и будет значением моды.
Например, по представленным данным о возрастном составе группы определим моду.
Возраст, лет Численность, человек
х f
4
13
9
21 1
20 3
Здесь наибольшая частота – 13, значит, Мо =17. Таким образом, в группе больше всего студентов, имеющих возраст 17 лет.
Для определения моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами сначала находят модальный интервал, которым является интервал с наибольшей частотой, а затем ведут расчет по формуле.
,
где XMo - нижняя граница модального интервала;
d – величина модального интервала;
fMo - частота модального интервала;
fMo-1 - частота интервала, предшествующего модальному;
fMo+1 - частота интервала, следующего за модальным.
Например, имеются данные по группе банков.
Таблица 6.6
Сумма выданных кредитов, млн. руб. |
Количество банков |
до 40 |
3 |
40-60 |
15 |
60-80 |
21 |
80-100 |
12 |
100-120 |
9 |
120 и выше |
7 |
Определим модальный размер выданных кредитов:
модальным является интервал 60-80, т.к. ему соответствует наибольшая частота (21);
нижняя граница модального интервала XMo = 60; величина интервала d = 20(80-60);
частота модального интервала fMo = 21; частота интервала, предшествующего модальному, fMo-1 = 15; частота интервала, следующего за модальным = 12.
Подставим в формулу значения
млн.
руб.
Медиана – это варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда и делящая его пополам.
Например:
возраст, лет
х
17
18
19 - медиана, т.к. это середина упорядоченного ряда.
20
21
Если число вариантов четное, то медианой будет средняя величина из двух значений признака, находящихся в середине ряда.
Например, по данным о цене яблок определить медиану:
Таблица 6.7
Номер магазина |
22 |
8 |
6 |
17 |
3 |
5 |
Цена яблок, руб. за кг |
50 |
51 |
52 |
54 |
54 |
55 |
В середине ранжированного ряда находятся цены двух магазинов.
Медиана определяется как средняя величина из этих значений:
(52+54)/2=53 руб.
Таким образом, в 50% магазинов яблоки продаются по цене не выше
53 руб. за кг, а в других 50% магазинов – по цене не ниже 53 руб.
В дискретных вариационных рядах медиану определяют так:
1) находят ее порядковый номер по формуле
-
при четном числе единиц совокупности
;
-
при нечетном числе единиц совокупности
;
2) строят ряд накопленных частот;
3) находят накопленную частоту, которая равна порядковому номеру медианы или его превышает;
4) варианта, соответствующая данной накопленной частоте, является медианой
Например, на основе данных определим медианный стаж сотрудников страховой компании:
Таблица 6.8
Время работы, лет х |
Число сотрудников, чел. f |
Накопленная частота S |
1 |
5 |
5 |
2 |
7 |
5+7=12 |
3 |
4 |
12+4=16 |
4 |
9 |
16+9=25 |
5 |
13 |
25+13=38 |
6 |
10 |
38+10=48 |
7 |
16 |
48+16=64 |
8 |
13 |
64+13=77 |
Итого |
77 |
- |
Так
как число единиц совокупности нечетное
(77), то номер медианы определяем по
формуле:
.
Для того чтобы найти значение варианты, стоящее на 39 месте, рассчитаем накопленные частоты. Искомый 39-й сотрудник входит в шестую группу, т.к. в пятой группе сумма накопленных частот равна 38. Значит, медианный стаж сотрудников равен 6 годам, итак 50% сотрудников имеют стаж работы не более 6 лет, а 50% - 6 лет и более.
Медиана в интервальном вариационном ряду рассчитывается по формуле
где xMe - нижняя граница медианного интервала;
dMe – величина медианного интервала;
SMe – накопленная частота интервала, предшествующая медианному;
fMe – частота медианного интервала.
Например, по следующим данным определим медианное значение суммы выданных банками кредитов:
Таблица 6.9
Сумма выданных кредитов, млн. руб. |
Количество банков, f |
Накопленная частота, S |
20-40 |
8 |
8 |
40-60 |
15 |
23 |
60-80 |
21 |
44 |
80-100 |
12 |
56 |
100-120 |
9 |
65 |
120-140 |
7 |
72 |
140-160 |
4 |
76 |
Итого |
76 |
- |
-
определим порядковый номер медианы
- определим накопленную частоту медианного интервала
;
SMe
=44, т.к. больше 38;
- определим соответствующий ей медианный интервал «60-80»;
- рассчитаем значение медианы по формуле:
,
т.е. у 50% банков сумма выданных кредитов не превышает 74,286 млн. руб.