6.7. Показатели вариации
Вариацией называется изменчивость значений признака у единиц статистической совокупности. Для измерения вариации в статистике используются абсолютные и относительные показатели.
К абсолютным показателям вариации относятся:
размах вариации R;
среднее линейное отклонение d;
средний квадрат отклонений (дисперсия) δ2;
среднее квадратическое отклонение δ.
Размах вариации R является наиболее простым показателем вариации, рассчитывается по формуле:
R = xmax − xmin .
Этот показатель представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признаков и характеризует разброс элементов совокупности. Размах улавливает только крайние значения признака в совокупности, не учитывает повторяемость его промежуточных значений, а также не отражает отклонений всех вариантов значений признака. Размах часто используется в практической деятельности, например, различие между max и min пенсией, заработной платой в различных отраслях и т.д.
Среднее линейное отклонение d является более строгой характеристикой вариации признака, учитывающей различия всех единиц изучаемой совокупности.
Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической.
Этот показатель рассчитывается по формулам простой и взвешенной средней арифметической.
В практических расчетах среднее линейное отклонение используется для оценки ритмичности производства, равномерности поставок.
На практике часто применяют другие показатели среднего отклонения от средней – дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Дисперсия признака σ2 представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, является общепринятой мерой вариации. В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется по формулам простой и взвешенной средней арифметической:
Среднее квадратическое отклонение σ представляет собой среднюю квадратическую из отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической. Среднее квадратическое отклонение является именованной величиной, имеет размерность усредняемого признака, экономически хорошо интерпретируется. Она также используется для оценки надежности средней: чем меньше среднее квадратическое отклонение σ, тем надежнее среднее значение признака x, тем лучше средняя представляет исследуемую совокупность.
Самым распространенным относительным показателем вариации является коэффициент вариации V. Коэффициент вариации используется для характеристики однородности исследуемой совокупности. Статистическая совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% .
Показатели вариации рассчитываются по следующим формулам:
Таблица 6.10
Показатели вариации |
Простые |
Взвешенные |
Средняя величина |
|
|
Среднее линейное отклонение |
|
|
Дисперсия |
|
|
Среднее квадратическое отклонение |
|
|
Коэффициент вариации |
|
|
Например, на основании данных о заработной плате сотрудников рассчитать показатели вариации:
Таблица 6.11
Размер месячной заработной платы, руб. |
Середина интервала х |
Число сотрудников чел. f |
xf |
|
|
|
4 000 – 6 000 |
5 000 |
10 |
50 000 |
5 853 |
58 530 |
342 576 090 |
6 000 – 8 000 |
7 000 |
6 |
42 000 |
3 853 |
23 118 |
89 073 654 |
8 000 – 10 000 |
9 000 |
19 |
171 000 |
1 853 |
35 207 |
65 238 571 |
10 000 – 12 000 |
11 000 |
26 |
286 000 |
147 |
3 822 |
561 834 |
12 000 – 14 000 |
13 000 |
19 |
247 000 |
2 147 |
40 793 |
87 582 571 |
14 000 – 16 000 |
15 000 |
10 |
150 000 |
4 147 |
41 470 |
171 976 090 |
16 000 – 18 000 |
17 000 |
5 |
85 000 |
6 147 |
30 735 |
188 928 045 |
Сумма |
- |
95 |
1031000 |
- |
233 675 |
945 936 855 |
- размах вариации R = xmax − xmin = 18 000-4 000 = 14 000 руб.
-
средняя заработная плата -
-
среднее линейное отклонение
руб.
-
дисперсия
руб.
- среднее квадратическое отклонение
руб.
-
коэффициент вариации
Судя по коэффициенту вариации, совокупность по данному признаку можно считать однородной.