2.1.2.Формула надежности при произвольном законе распределения времени исправной работы.

из формулы (1.26)

dp(t) = λ (t) p(t) dt

dp(t) / p(t) = - λ(t) dt

(2.1.)

Проинтегрируем дифференциальное уравнение от 0 до t

t

Ln p (t) – Lnp’(0) = -∫ λ(t) dt

0

Очевидно что при t=0 вероятность равна 1, а Ln=0

t t t - ∫ λ(t) dt Ln p(t) = - ∫ λ(t) dt → p(t) = exp [ - ∫ λ(t) dt ] = e 0 0 0

(2.2)

Формула 2.2 позволяет определить вероятность безотказной работы элементы по известной интенсивности отказа.

Вероятность безотказной работы системы с последующем соединением.

N p(t) = ∏pj(t) j=1

(2.3)

где

N число элементов системы

P_j вероятность безотказной работы j-го элемента

Заменить в формуле p_j на вероятность в 2.2

N t N t - ∑- ∫ λj(t) dt P(t) = ∏exp (- ∫ λ(t) dt = e j=1 0 J=1 0

(2.4)

n

Обозначим ∑- ∫ λ_j(t) = λ0(t) как интенсивность отказов в системе, тогда

t -∫ λ0(t) dt p(t) = e 0

(2.5)

Обычно аппарат состоит из различных по надежности групп. элементов интенсивностью отказов

к λ0(t) = ∑ Ni λi (t) i=1

(2.6)

Где к число групп элементов с различной интенсивностью отказов

N число элементов в группе с интенсивность отказов λ

2.6 подставим в 2.5 то

к t - ∑Ni ∫λi (t) dt p(t) = e i =1 0

(2.7)

ля того, чтобы определить вероятность безотказной работы системы в точное время t, необходимо зависимости интенсивности отказов от врем. И число элементов в группах.

2.1.3 Экспоненциальный закон надежности.

Часто надежность рассчитывается для периода нормальной эксплуатации, когда интенсивность отказов является const, тогда

p = e- λt

(2.8)

Согласной этой формуле вероятность безотказной работы не зависит от того, сколько времени элемент проработал до рассмотренного промежутка и в формуле по t понимается продолжительность промежутка, для которого рассчитывается надёжность.

Определенно вероятность безотказной работы в интервале (t,t + Δt) при этом предполагалось, что до времени t устройство проработало не отказав

p(t + Δt ) = e^{- λ(t + Δt)}= e^{- λt} e^{λ Δt} = p (t) p(Δt/t)

где

p (t) вероятность безотказной работы устройства для времени t

p(Δt/t) условная вероятность безотказной работы в интервале (t,t + Δt) при условии ,что устройство проработало время t не отказав

p(Δt/t) = e^{- λ Δt}

где

p(Δt/t) от времени t не зависит

Полученный экспоненциальный закон является частным случаем закона Пуассона

При м=0 , p = е

По этому закону распределены редкие события законы (катастрофы)

Для систем содержащей К групп и интенсивных отказов λ1…..λ2… вероятность безотказной работы сожжет быть записано

к P(t) = exp [ - ( N1λ1 + N2λ2 + ….+ Niλi+…+Nкλк ) t ] = exp [ -t ∑ Niλi ]= i=1
к =∑ Niλi = λ0 i=1	(2.9)

Полученное выражение позволяет ориентировочно рассчитать значение безотказной работы системы за любой промежуток времени, если известны средне групповые значения интенсивности отказов элементов и число элементов в этих группах

Q(t) = 1 –P (t) = 1 – e-Λ0t

(2.10)

Так как при экспоненциальном законе распределения среднее время

∞

Тср = То = ∫ p(t) dt

0

∞ Tcp = To ∫ e-Λ0tdt = 1 /Λ0 0

(2.11)

Среднее время обратно пропорционально интенсивности отказов.

Так как в период нормальной эксплуатации надежность элемента не зависит от того, сколько времени он проработал, то замена элемента должна производиться только после отказов.

Профилактическая замена элемента не только не повысит, но и понизит надежность, так как заменяемые элементы

внесут свои приработанные отказы.

Только в конце срока эксплуатации, когда начинают сказываться износовые отказы, земена элементов может повысить надежность.