Занятие 8 распределение предметов по разным ячейкам при разных условиях на число предметов в них

Цель: Изучить на практике методику расчета числа распределений предметов по разным ячейкам при разных условиях на число предметов в них (подарков среди не обиженных студентов)

Содержание:

Задание 16 (на число распределений предметов по разным ячейкам при разных условиях на число предметов в них).

Сколько возможно способов распределения двух (n=2) подарков (предметов) среди пяти (m=5) разных студентов (внутри разных ячеек) в следующих случаях:

1) все предметы-подарки одинаковые, а студенты (ячейки) могут получить 0 или 1 предмет,

2) все предметы-подарки одинаковые, а студенты (ячейки) могут получить любое число предметов от 0 до n=2,

3) все предметы-подарки одинаковые, а студенты (ячейки) могут получить любое число предметов от 1 до n=2,

4) все предметы-подарки разные, а студенты (ячейки) могут получить 0 или 1 предмет,

5) все предметы-подарки разные, а студенты (ячейки) могут получить любое число предметов от 0 до n=2,

6) все предметы-подарки разные, а студенты (ячейки) могут получить любое число предметов от 1 до n=2?

Решение

Данное задание - на число распределений n предметов по m разным ячейкам при разных условиях на число предметов в них: предметы – подарки, ячейки - студенты. Его решение дано в виде таблицы ниже:

Таблица. Число распределений n предметов по m непустым ячейкам: предметы

Тип используемых n предметов	Тип используемых m ячеек - все разные. Каждая ячейка может содержать следующее число предметов:
	0 или 1 предмет	0,1,2,…,n предметов	1,2,…,n предметов
Все одинаковые	= =m!/(n!(m-n)!) решает п. 1 задания 16 n≤m	= =(m+m-1)!/(n!(m-1)!) решает п. 2 задания 16 n≤m или n>m	решает п. 3 задания 16 n≥m - число способов разбиения натурального числа n на m штук слагаемых с учетом их порядка в сумме
Все разные	=m!/(m-n)! решает п. 3 задания 16 n≤m	=mn решает п. 4 задания 16 n≤m или n>m	m! Sn,m решает п. 6 задания 16 n≥m Sn,m - число Стирлинга 2-го рода из n по m m! – факториал числа «m».

Замечания к последней таблице.

Таблица чисел P_n,m под названием «Числа разбиений Р_{п m}» приведена выше.

Таблица чисел и = под названием «Биномиальные коэффициенты » приведена выше. Обратите внимание на то, что здесь верхний и нижний индексы на единицу больше, чем нужно. Числа нам уже были известны в задании 9, как число сочетаний без повторений из из n по m.

Таблица чисел S_n,m Стирлинга 2-го рода из n по m под названием «Числа Стирлинга 2-го рода » также приведена выше

Решим задание например для n=2 и m=5. Имеем ответы:

1) Ответ на п. 1 задания 16: = 5!/(2)!(5-2)!)= 5!/((3)!2!)=120/(26)=10, где – число сочетаний без повторений из 5 по 2.

2) Ответ на п. 2 задания 16: =(5+2-1)!/(2! (5-1)!)= 6!/((2)!4!)=720/(224)= 15. Здесь - число сочетаний с повторениями из 5 по 2.

3) Ответ на п. 3 задания 16: = =0.

4) Ответ на п. 3 задания 16: =5!/(5-2)! = 5!/(3)!=120/6=20, где - число размещений без повторений из 5 по 2.

5) Ответ на п. 4 задания 16: =5²=25, где - число размещений с повторениями из 5 по 2.

6) Ответ на п. 6 задания 16: 5!S_2,5=1200= 0, где S_2,5 =0 - число Стирлинга 2-го рода из 5 по 2, 5! =120 – факториал числа «5».