Занятие 12 оценка математического ожидания, моды, медианы и дисперсии

Задание 24. Условно считая числа, данные в задании 5, как некий ранжированный (упорядоченный по возрастанию) ряд вероятностного распределения признака Х некой генеральной совокупности, оценить: 1) математическое ожидание, 2) моду, 3) медиану и 4) дисперсию распределения. Построить закон распределения, полигон и гистограмму распределения признака Х.

Решение. Пусть у нас вариант 32. В задании 5 имеем ряд: 1,1,2,3,3,3.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

Определение 1. Генеральной средней (или а) называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения x₁, x₂, …, x_N признака генеральной совокупности объема N различны, то

Определение 2. Генеральной дисперсией D_г. называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака X генеральной совокупности от генеральной средней .

Если все значения x₁, x₂, …, x_N признака генеральной совокупности объема N различны, то

КОНЕЦ КРАТКОЙ ТЕОРИИ.

Решение.

1. Математическое ожидание равно среднему арифметическому из всех значений: , =(1+1+2+3+3+3)/6=13/62,2167.

2. Мода – это наивероятнейшее значение или вершина на графике распределения, оно равно x_mod=3 (встречается чаще других – 3 раза). Другая мода – изолированная вершина на графике равна x_mod=1.

3. Медиана – это такое воображаемое или реальное значение, которое делит ранжированный ряд на две равные части. Наш ранжированный ряд можно разбить две равные по числу значений части: {1,1,2} и {3,3,3}. Очевидно, что медиана находится строго на середине внутренних границ этих частей, выделенных жирным шрифтом: 2 и 3 . Т.е. медиана равна их полусумме: x_med= (2+3)/2=2,5.

4. Дисперсию оценим по формуле: имеем

D_г= [(1-2,2167)²+(1-2,2167) ²+(2-2,2167) ²+(3-2,2167) ²+(3-2,2167) ²+(3-2,2167) ²]/6=

= [(-1,2167)²+(-1,2167) ²+0,2167 ²+0,7833 ²+0,7833 ²+0,7833 ²]/6=

=(21,48035889+0,04695889+30,61355889)/6=

=(2,96071778+0,04695889+1,84067667)/6=4,84835334/60,80805889

5. Ответы: 1) 2,2167, 2) x_mod=3, 3) x_med=2,5, 4) D_г0,808.

Наша случайная величина задана законом распределения

Варианта хi	1	2	3	Сумма
Абсолютная частота ni	2	1	3	n=6
Относительная частота pi	0,333	0,167	0,500	1

Относительные частоты p_i находим по формулам p_i= n_i / n.

Имеем p₁= n₁ / n=2/6=0,333, p₂= n₂ / n=1/6=0,167, , p₃= n₃ / n=3/6=0,500.

Полигоном и гистограмма распределения признака Х построены на рис. ниже.

Задание 25. Случайная величина X задана плотностью вероятности

Оценить: 1) математическое ожидание, 2) моду, 3) медиану и 4) дисперсию распределения. Построить закон распределения, полигон и гистограмму распределения признака Х.

Решение. Согласно определениям математического ожидания непрерывной случайной величины и дисперсии непрерывной случайной величины имеем

М(Х)= =

D(Х)= ₌ = =

и, наконец, (Х) =

Остальные вопросы задания решаются самостоятельно.