Занятие 6. Размещения и сочетания без повторений и с повторениями на примере бросания игральных костей.

Цель: Изучить на практике методику вычисления количества размещений и сочетаний без повторений и с повторениями на примере бросания игральных костей

.Содержание:

Задание 14 (на число размещений и сочетаний на примере бросания игральных костей).

Задание 14 (на число размещений и сочетаний на примере бросания игральных костей).

Брошены наудачу m штук правильных n-гранников, на каждой грани которых нанесены точками последовательные натуральные числа от 1 до n (игральные “кубики”) (см. параграф ”Тела Платона”). Сколько при этом возможно результатов бросания в следующих случаях:

1) все m штук правильных n-гранников разные (например разного цвета), а учитываются только разные (неодинаковые, неповторяющиеся) числа, выпавшие на них,

2) все m штук правильных n-гранников разные (например разного цвета), а учитываются только в том числе и одинаковые (повторяющиеся) числа, выпавшие на них,

3) все m штук правильных n-гранников разные (например разного цвета), а учитываются обязательно одинаковые (повторяющиеся) числа, выпавшие на них,

4) все m штук правильных n-гранников одинаковые, а учитываются только разные (неодинаковые, неповторяющиеся) числа, выпавшие на них,

5) все m штук правильных n-гранников одинаковые, а учитываются только в том числе и одинаковые (повторяющиеся) числа, выпавшие на них,

6) все m штук правильных n-гранников одинаковые, а учитываются обязательно одинаковые (повторяющиеся) числа, выпавшие на них?

Замечание. В качестве правильных n-гранников в этом задании могут быть выбраны любые из 5 тел Платона, показанные на рис. 3 (n=4 - тетраэдр, n=6 – гексаэдр или куб, n=8 - октаэдр, n=12 - додекаэдр, n=20 - икосаэдр). Решить задание например для n=6 и m=2.

Решение

Данное задание - на число размещений и сочетаний на примере бросания игральных костей. Ее решение дано в виде таблицы ниже:

Тип учитываемых чисел	Тип используемых n-гранников 
	Все разные	Все одинаковы
Все разные= запрещены одинаковые	решает п. 1 задания 14	решает п. 4 задания 14
Возможны одинаковые	решает п. 2 задания 14	решает п. 5 задания 14
Обязательно есть одинаковые	- решает п. 3 задания 14	- решает п. 6 задания 14

Решим задание например для n=6 и m=2. Имеем ответы:

Ответ на п. 1 задания 14: =30

Ответ на п. 2 задания 14: =36

Ответ на п. 3 задания 14: - =36-30=6

Ответ на п. 4 задания 14: =15

Ответ на п. 5 задания 14: =21

Ответ на п. 6 задания 14: - =21-15=6.

ТЕЛА ПЛАТОНА ИЛИ ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Тела Платона-это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного многогранника конгруэнтны. Как это следует уже из подсчета суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных многогранников не больше пяти. Указанным ниже путем можно доказать, что существует именно пять правильных многогранников (это доказал Евклид). Они - правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Таблица. Тела Платона

Название:	Число ребер при вершине	Число сторон грани	Число граней	Число ребер	Число вершин
Тетраэдр	3	3	4	6	4
Куб	3	4	6	12	8
Октаэдр	4	3	8	12	6
Додекаэдр	3	5	12	30	20
Икосаэдр	5	3	20	30	12

Тетраэдр-четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников. (рис. 3.1).

Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами. (рис.3.2).

Октаэдр-восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.3.3).

Додекаэдр-двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник; один из пяти правильных многогранников. (рис.3.4).

Икосаэдр-двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников (рис.3.5).

Рисунки 3: 3.1-Тетраэдр, 3.2-Куб, 3.3-Октаэдр, 3.4-Додекаэдр, 3.5-Икосаэдр.