Рисунки 3:Тела Платона

КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Занятие 7 распределение предметов по непустым ячейкам

Цель: Изучить на практике методику расчета числа распределений предметов по непустым ячейкам (подарков среди не обиженных студентов)

.Содержание:

Задание 15 (на число распределений предметов по непустым ячейкам).

Задание 15 (на число распределений предметов по непустым ячейкам).

Сколько возможно способов распределения пяти (n=5) подарков (предметов) среди двух (m=2) не обиженных студентов (внутри непустых ячеек) в следующих случаях:

1) все предметы-подарки одинаковые, а студенты (ячейки) одинаковые - близнецы, и каждый студент (ячейка) может получить любое число предметов от 1 до n=5,

2) все предметы-подарки одинаковые, а студенты (ячейки) разные, и каждый студент (ячейка) может получить любое число предметов от 1 до n=5,

3) все предметы-подарки разные, а студенты (ячейки) одинаковые - близнецы, и каждый студент (ячейка) может получить любое число предметов от 1 до n=5,

4) все предметы-подарки разные, а студенты (ячейки) разные, и каждый студент (ячейка) может получить любое число предметов от 1 до n=5?

РЕШЕНИЕ

Данное задание - на число распределений n предметов по m непустым ячейкам: предметы – подарки, ячейки - студенты. Ее решение дано в виде таблицы ниже:

Таблица. Число распределений n предметов по m непустым ячейкам: предметы

Тип используемых n предметов	Тип используемых m ячеек
	Все одинаковые	Все разные
Все одинаковые	Pn,m решает п. 1 задания 15 Pn,m – число способов разбиения натурального числа n на m штук натуральных слагаемых без учета их порядка в сумме	решает п. 4 задания 15 - число способов разбиения натурального числа n на m штук слагаемых с учетом их порядка в сумме
Все разные	Sn,m решает п. 2 задания 15 Sn,m - число Стирлинга 2-го рода из n по m	m! Sn,m решает п. 5 задания 15 Sn,m - число Стирлинга 2-го рода из n по m m! – факториал числа «m».

Замечания к последней таблице.

Таблица чисел P_n,m под названием «Числа разбиений Р_{п m}» приведена ниже.

Таблица чисел под названием «Биномиальные коэффициенты » приведена ниже. Обратите внимание на то, что здесь верхний и нижний индексы на единицу больше, чем нужно. Числа нам уже были известны в задании 9, как число сочетаний без повторений из из n по m.

Таблица чисел S_n,m Стирлинга 2-го рода из n по m под названием «Числа Стирлинга 2-го рода » также приведена ниже

Решение

Решим задание 15 например для n=5 и m=2.

1) Решение п. 1 задания 15.

Для множества с n=5 элементами число всех неупорядоченных разбиений, содержащих k=2 подмножества равно P_5,2. По таблице чисел неупорядоченных разбиений P_5,2. находим P_5,2= 2.

Ответ на п. 1 задания 15: P_5,2=2, где P_5,2 – число способов разбиения натурального числа 5 на 2 слагаемых без учета их порядка в сумме.