Занятие 4. Размещения без повторений и с повторениями

Цель: Изучить на практике методику расчета числа размещений без повторений и с повторениями

.Содержание:

Задание 8 (на число размещений без повторений).

Задание 9 (на число размещений с возможными повторениями).

Задание 10 (на число размещений с обязательными повторениями).

Задание 8 (на число размещений без повторений).

Сколько различных m– значных телефонных номеров (натуральных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой без возможности повторения из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9? Решить задание для m=3.

ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Размещениями без повторений или просто размещениями элементов n различных типов по m называются их последовательности из m различных элементов, отличающиеся друг от друга самими элементами или их порядком. При этом m≤n, поскольку не допускается повторение элементов в последовательности из m различных элементов. (Иногда размещения называют расположениями, выборами, упорядоченными рядами или наборами, распределениями или аккомодациями.)

Число всех размещений из элементов n различных типов по т (обозначается ) есть = = =n!/(n-m)!

КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Решение.

В задании 8 m=3, n=5. Тогда по формуле имеем = n!/(n-m)!. Подставляя в формулу m=3 и n=5, имеем = 5!/(5-3)!= 5!/ 2!=120/2=60.

Ответ: =60, т. е 60 различных вариантов 3– значных телефонных номеров (3-значных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой без возможности повторения из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9.

Задание 9 (на число размещений с возможными повторениями).

Сколько различных m– значных телефонных номеров (натуральных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой и с возможностью повторения из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9? Решить задание для m=3.

ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ С ПОВТОРЕНИЯМИ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Размещениями с повторениями элементов n различных типов по т называются их последовательности из т элементов, отличающиеся друг от друга самими элементами или их порядком. При этом возможно и т≤ n, и т>n, поскольку допускается повторение элементов в последовательности из т элементов.

Число всех возможных размещений из га различных элементов по т (обозначается ) есть = n^m.

КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Решение.

В задании 9 m=3, n=5. Тогда по формуле имеем = n^m. Подставляя в формулу m=3 и n=5, имеем = 5³=125.

Ответ: =125., т. е 125 различных вариантов 3– значных телефонных номеров (3-значных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой с возможностью повторения из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9.

Задание 10 (на число размещений с обязательными повторениями).

Сколько различных m– значных телефонных номеров (натуральных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой и с обязательным их повторением в номере из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9? Решить задание для m=3.

ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ С ОБЯЗАТЕЛЬНЫМИ ПОВТОРЕНИЯМИ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Пусть A - множество размещений элементов с возможными их повторениями из n по m элементов, B - множество размещений элементов без возможности их повторениями из n по m элементов. Очевидно, число элементов n(A) множества A равно , а число элементов n(B) множества B равно . Так как множество B есть подмножество множества A, то BA, поэтому число элементов их пересечения равно n(A∩B)=n(B)= . Наконец, пусть A\B - множество размещений элементов с обязательными повторениями из n по m элементов. Тогда по следствию из правила суммы число элементов последнего множества A\B равно n(A\B)= =n(A)-n(A∩B)= - .

КОНЕЦ ТЕОРИИ.

РЕШЕНИЕ.

В задании 10 m=3, n=5. Тогда по формуле имеем n(A\B)= - = - =125-60=65.

Ответ: n(A\B)= 65, т. е 65 различных вариантов 3– значных телефонных номеров (3-значных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой с обязательным повторением из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9.