5.1 Простая случайная выборка

При простой случайной выборке отбор производится из всей массы единиц генеральной совокупности без предварительного расчленения ее на какие-либо группы, и единица совокупности совпадает с единицей наблюдения.

Различают простую случайную повторную выборку (после отбора какой-то единицы она снова возвращается в совокупность) и простую случайную бесповторную выборку (отобранная единица не возвращается в совокупность и вероятность попадания оставшихся единиц возрастает).

Поставим задачу определения параметров генеральной совокупности по результатам проведения простой случайной выборки.

Предварительно отметим, что в распределении величин выборочных средних и их отклонений наблюдаются определенные закономерности:

• Из возможных результатов простой случайной выборки наиболее вероятны такие, при которых величина выборочной средней будет близка к величине генеральной средней;

• При простой случайной выборке средняя арифметическая является несмещенной оценкой генеральной средней (несмещенная оценка-это оценка лишенная систематической ошибки);

• Чем больше обследуется единиц совокупности, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характеристик;

Пусть генеральная совокупность представлена следующими условными показателями:

X_1, X_{2, . . . ,}X_N, где N – объем генеральной совокупности (число входящих в нее единиц).

Обозначим: x_Г - среднее значение признака в генеральной совокупности (генеральная средняя); w_Г – генеральная доля (доля единиц, обладающих данным значением признака в общем, числе единиц генеральной совокупности), например, доля числа бракованных единиц в общем количестве единиц в данной партии изделий;

- генеральная дисперсия;

S_Г- среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности.

Произведем отбор простой случайной выборки (повторной или без повторной) объема n, причем n много меньше, чем N (n << N). Пусть эта выборка будет: X_1, X_{2,. . . ,}Xn

По этой выборке определим:

-среднее значение (выборочная средняя) ;

w- выборочная доля (например, доля бракованных изделий в выборке);

- выборочная дисперсия определится по формуле _;

- среднее квадратическое отклонение в выборке.

В математической статистике доказывается, что величина средней квадратической стандартной ошибки простой случайной выборки может быть определена следующими формулами:

для без повторной выборке;

для повторной выборке.

Среднюю стандартную ошибку выборочной доли определяют по следующим формулам;

для без повторной выборке;

для повторной выборке.

В тех случаях, когда объем генеральной совокупности N очень велик по сравнению с числом отобранных единиц n, величина 1 – будет близка к единице, а потому его можно пренебречь.

Выборочное наблюдение дает возможность определять насколько выборочная средняя (выборочная доля), может отличаться от генеральной средней (генеральной доли) в большую или меньшую сторону. Величина генеральной средней (генеральной доли) может быть представлена интервальной оценкой, для которых нижняя граница будет равна , а верхняя граница . Пределы, в которых с данной степенью вероятности будет заключена неизвестная величина оцениваемого параметра, называют доверительными, а вероятность p – доверительной вероятностью.

Величины и называются соответственно предельными ошибками выборочной средней и выборочной доли соответственно.

Видим, что предельная ошибка выборки равна t – кратному числу средних ошибок выборки.

Ниже приводится наиболее часто употредляемые уровни доверительной вепоятности (p=ф(t), ф(t) – функция Лапласса) и соответствующих значений t для выборок достаточно большого объема (n≥30):

t	1	1.96	2.00	2.58	3.00
Ф(t)	0.683	0.950	0.954	0.990	0.997

Из последней графы следует, что вероятность появления ошибки, равной или большей утроенной средней ошибки выборки, т.е. крайне мала и равна 0.003=(1-0.997). Такие маловероятные события считаются практически невозможными.

Доверительный интервал для генеральной средней будет иметь вид:

для генеральной доли:

Пример. Для контроля качества поступившей партии зерна произведено 6%-ное выборочное обследование. В результате анализа установлено следующее распределение полученных методом выборки данных о влажности зерна:

Таблица 3.1

Процент влажности (xi)	Число проб (fi)
до 8	15
8-10	30
10-12	18
12-14	17
14-16	12
1 6 и выше	8
Итого	100

При условии, что к нестандартной продукции относятся образцы с влажностью от 16% и выше, установить для всей партии зерна:

1) с вероятностью 0,997 возможные пределы доли стандартной продукции;

2) с вероятностью 0,954 возможные пределы среднего процента влажности для всей партии зерна.

Решение: За величины открытых интервалов (у которых верхняя или нижняя границы точно не определены) условно примем величины смежного закрытого интервала. Т.е. величина первого интервала равна величине второго интервала и равно 2, а величина 6-го интервала равна величине 5-го и равна 2.

Следовательно, нижняя граница выборки равна х_min =8-2 = 6; верхняя граница вы­борки равна x_max =16+ 2=18.

Найдем среднее значение признака по формуле:

,

x_i - значение признака на интервале (середина интервала);

f_{i -} частота повторения признака на интервале

%

Найдем дисперсию признака по формуле:

где - дисперсия признака.

Среднее квадратичное отклонение

Коэффициент вариации %= 100%=27,13%

Коэффициент вариации меньше 33%, значит выборка однородная.

Возможные пределы удельного веса стандартной продукции для генеральной совокупности вероятностью 0,997 найдем из формулы:

где - средняя ошибка выборочной доли. Она находится по формуле:

где N - общее число изделий в генеральной совокупности;

- частота появления альтернативного признака, равная m/n, где m - число случаев в выборке, когда продукция стандартная.

В нашем случае m = 100 - 8 = 92 и = 92 /100 = 0,92, а n / N = 0,06 т.к. проводилось 6%-ое обследование продукции. Тогда:

t: (0,997; 100) - 3 , следовательно интервал равен:

(0,92 - 0,026 * 3 ; 0,92 + 0,026 * 3) ; (0,842 ; 0,998)

Т.е. с вероятностью 0,997 можно предполагать что в поступившей партии зерна доля стандартной находится в пределах от 84,2% до 99,8%.

Возможные пределы, в которых ожидается средний процент влажности всей поступившей партии зерна с вероятностью 0,954 найдем из формулы:

;

где t - коэффициент доверия при заданной степени вероятности (находится по таблице).

- средняя ошибка выборочной средней.

- предельная ошибка выборки.

Средняя ошибка выборочной средней находится по формуле:

,

t (0,954; 100) = 2 , следовательно предельная ошибка равна :

= 0,292 * 2 = 0,584 %.

Тогда интервал для средней равен :

(11,1-0,584; 11,1+0,584) (10,516 ; 11,684)

Т.е. средняя влажность по всей партии товара с вероятностью 0,954 будет в интервале от 10,516 до 11,684%.