2.3 Средние величины и показатели вариации

Средняя величина показывает уровень признака, отнесенный к единице совокупности. Средние величины, которые используются и применяются в статистике, относятся к классу степенных средних, общая формула которых имеет вид

х – степенная средняя;

x_i – меняющаяся величина признака (варианта);

n – количество вариант;

m – показатель степени степенной средней.

При m = 1 простая средняя арифметическая.

При m = 2 – средняя квадратическая.

При m = 3 – средняя кубическая.

Разные виды средних величин на одном и том же числовом материале имеют неодинаковое значение.

Чем больше показатель степени в формуле степенной средней, тем больше величина средней. Это называется правилом мажорантности средней. Средняя только тогда будет верной обобщающей характеристикой совокупности по варьирующему признаку, когда при замене всех вариант средней, общий объем варьирующего признака останется неизменным.

В статистике наиболее часто используются следующие величины степенных средних:

Простая средняя арифметическая

х – простая средняя арифметическая;

х₁, х₂, …, х_n – значения (варианты) некоторой совокупности;

n – количество вариант;

Средняя арифметическая взвешенная

, где

х – средняя арифметическая взвешенная;

х₁, х₂, …, х_n – значения (варианты) некоторой совокупности;

f₁, f₂, …, f_n – частоты, веса варьирующего признака.

Средней арифметической взвешенной пользуются в тех случаях, когда каждый из двух показателей ее определяющих находится как сумма произведений или как простая сумма заданных значений совокупности.

Средняя гармоническая

, где

х_гар – средняя гармоническая;

х₁,х₂,…,х_n – значения (варианты) некоторой совокупности;

f₁, f₂, …, f_n – частоты, веса варьирующего признака.

Средней гармонической пользуются в тех случаях, когда хотя бы один из двух показателей, ее определяющих, находится как сумма обратных величин варьирующих признаков совокупности.

Пример 1. Имеется информация об урожайности пшеницы по трем бригадам колхоза за два периода

Номер бригады	Годы
	Базисный год		Отчетный год
	Урожайность с 1 га, в ц	Посевная площадь в га	Урожайность с 1 га, в ц	Посевная площадь в га
1	30,5	250	35,4	885,0
2	20,8	300	29,7	891,0
3	30,6	280	48,9	1369,0

Определить:

а) Среднюю урожайность пшеницы по колхозу для каждого года;

б) Как изменилась средняя урожайность в отчетном году по сравнению с базисным периодом (в абсолютных и относительных величинах);

в) Какие формулы средних применялись, и дать обоснования их применения.

Решение.

Величину средней урожайности определяют два показателя: валовой сбор и посевная площадь.

Для базисного года валовой сбор определяется как сумма произведений урожайности х_i по бригадам на посевную площадь (f_i) соответствующей бригады. Посевная площадь по колхозу определяется как простая сумма площадей (f_i) трех бригад, а это означает, что средняя урожайность пшеницы по колхозу в целом определяться как средняя арифметическая взвешенная.

=(250×30,5+300×20,8+

280×30,6)/(250+300+280)=22433/830=27(ц. с га)

Для отчетного года валовой сбор по колхозу определяется как простая сумма валового сбора (f_i) по бригадам. Для нахождения посевной площади колхоза необходимо валовой сбор (f_i) по каждой бригаде разделить на урожайность (х_i) и результаты просуммировать. Т.е. второй показатель находится как сумма обратных величин варьирующего признака. По определению следует, что средняя урожайность за отчетный год определяется по формуле средней гармонической.

=(885+891+1369)/

(885/35,4+891/29,7+1369/48,9)=3145/83=37,9(ц. с га)

Для определения изменения урожайности в отчетном году по сравнению с базисным воспользуется понятием абсолютных и относительных величин. Абсолютное изменение средней урожайности определится как разность средней урожайности отчетного периода и средней урожайности базисного периода и составит 37,9-27=10,9 (ц. с га), т.е. урожайность увеличилась на 10,9 ц с га.

Относительное изменение средней урожайности по отношению к базисному году составило 37,9/27=1.404 или 140,4%.

То есть, средняя урожайность по колхозу выросла в 1,4 раза или на 40,4%.

Средняя геометрическая

=

– средняя геометрическая;

х₁, х₂, …, х_n – значение (варианты) некоторой совокупности;

n – количество, вариант;

П – знак произведения.

При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде данных величин (подробнее будет рассмотрено в разделе рядов динамики).

Средняя квадратическая:

- Простая средняя квадратическая =

- Взвешенная средняя квадратическая =

 – средняя квадратическая;

х_i – значение (варианты) некоторой совокупности, где i принимает значение от 1 до n (i = );

n – количество вариант;

f_i - частота (вес) варьирующего признака (i = );

х – средняя арифметическая (простая или взвешенная);

Величина, находящаяся под квадратным корнем, называется дисперсией (² = D) и определяется как средняя арифметическая (простая или взвешенная) квадратов отклонений от средней.

Средней квадратической пользуются для измерения степени колеблемости некоторого признака.

Для сравнения колеблемости признаков имеющих неодинаковую размерность удобно применять коэффициента вариации (v );

V=(/х )×100%

Это уже относительная величина, выраженная в процентах.

Кроме степенных средних в статистике широко используются структурные средние (мода и медиана).

Мода (Мо)– наиболее часто встречающаяся величина признака в рядах распределения.

Пусть задан ряд распределения.

хi	х1	х2	х3	х4	х5
fi	1	2	9	4	6

Где х_i – значения (вариант) некоторой совокупности (i = ),

f_i – частоты (веса) варьирующего признака (i = ).

Из ряда распределения видим, что наиболее часто встречается (9 раз) варианта х₃, поэтому х₃ и принимается за среднее значение, т.е. Мо = х₃.

Медиана (Ме) – это центральный элемент ранжированного статистического ряда. Ряд называется ранжированным, если его элементы расположены в порядке возрастания или убывания признака.

Пусть статистический ранжированный ряд задан следующим элементами:

х₁, х_2, … ,х_n, тогда:

при n нечетном, т.е. n = 2к+1, Ме= х_к+1;

при n четном, т.е. n = 2к Ме=(х_к+х_к+1)/2, т. е. медиана есть средняя арифметическая величина двух центральных элементов.

Пример 2. Имеются следующие данные процента естественной убыли на некотором предприятии:

Процент естественной убыли	Количество партий товара
3-5	15
5-7	24
7-9	48
9-11	13
Всего	100

Определить:

1. Средний процент естественной убыли.

2. Среднеквадратическое отклонение от этой средней.

3. Коэффициент вариации.

4. Модальный интервал.

Для того, чтобы найти среднюю интервального ряда, находим среднюю каждого интервала, равную полусумме верхней и нижней границы интервала, а затем среднюю всего ряда, как среднюю взвешенную. Построим вспомогательную таблицу.

% естеств. убыли (нижняя граница интерва-ла)	% естеств. убыли (верхняя граница интервала)	Сред- няя интер- вала хi	Количество партий товара fi	хi × fi	хi - x	(хi - x)2	(хi - x)2 × fi
3	5	4	15	60	-3,18	10,11	151,68
5	7	6	24	144	-1,18	1,39	33,41
7	9	8	48	384	0,82	0,67	32,27
9	11	10	13	130	2,82	7,95	103,38
			100	718			320,76

Тогда средний процент естественной убыли определим как среднюю взвешенную

=(15×4+24×6+48×8+13×10)/

(15+24+48+13)=718/100=7,18%

Дисперсия процента естественной убыли определяется по формуле D = ²=((4-7,18)²×15+(6-7,18)²×24+(8-7,18)²×48+(10-7,18)²×13)/(15+24+48+13)=320,76/100=3,21

где  - средняя квадратическая взвешенная и находится как корень квадратный из дисперсии, и будет составлять 1,79%.

Коэффициент вариации будет равен:

V=(/х )×100%=(1,79/7,18) ×100%=25%

Модальный интервал находится от 7% до 9%, как интервал, имеющий наибольшую частоту партий товара.

Вывод. Из данных 100 партий товара средний процент естественной убыли равен 7,18%; среднеквадратическое отклонение составляет - 1,79%, а коэффициент вариации-25%. Коэффициент вариации показывает, что величина средней характерна для данной совокупности и попадает в модальный иртервал.