6.1.5. Обработка углов замкнутого и разомкнутого теодолитных ходов

В замкнутом теодолитном ходе при безошибочном измерении горизонтальных углов их сумма равна

,

где n – число вершин многоугольника.

Так, для пятиугольника I–II–III–IV–V на рис. 65

Σβ_Т = _I + _II + _III +_IV + _V =180º(5 –2) = 540º.

Угловые измерения сопровождаются погрешностями, поэтому сумма измеренных углов Σβ_и отличается от теоретической суммы.

Рис. 65. Замкнутый I–II–III–IV–V и разомкнутый V–A–B–II теодолитные ходы

Разность между суммой измеренных углов и теоретической суммой называется угловой невязкой:

.

Угловая невязка должна быть меньше или равна допустимой, т. е

где τ – точность отсчетного приспособления теодолита.

Если указанное условие не выполняется, то при правильных вычислениях углы перемеряют в поле.

При выполнении этого условия угловую невязку распределяют на все измеренные углы поровну, округляя до точности τ. Сумма исправленных углов должна равняться теоретической сумме.

Вычислим угловую невязку на примере разомкнутого теодолитного хода V–A–B–II (рис. 65), в котором измерены углы на точках А и В. Сумма этих углов составляет Σβ_и. Теоретическая сумма составляет Σβ_т = _А+ _В.

Углы _А и _В используются при вычислении дирекционных углов _А-В и _В-II:

_А-В = _V-A + 180º – _А;

_B-II= _А-В + 180º – _В = _V-A + 2·180 – Σ(_А+ _В),

где _А-В – дирекционный угол начальной стороны разомкнутого теодолитного хода, обозначим этот угол через _Н.

_B-II – дирекционный угол конечной стороны разомкнутого теодолитного хода, обозначим этот угол через _К.

Тогда

_К = _Н + 2·180 – Σ(_А+ _В).

Выразим теоретическую сумму углов в точках А и В.

Σβ_т = _Н – _К + 2·180.

Угловая невязка разомкнутого теодолитного хода

f_β = Σβ_и – Σβ_т = Σβ_и + _К – _Н – 2·180.

Если в рассматриваемом ходе не два измеренных угла, а n углов, тогда угловая невязка примет следующее выражение:

f_β = Σβ_и + _К – _Н – n ·180.

6.1.6. Увязка приращений координат в замкнутом и разомкнутом теодолитных ходах

Приращения координат ΔХ в замкнутом теодолитном ходе – это проекции линий на оси координат Х и У соответственно. Теоретически ΣΔХ = 0 и ΣΔУ = 0. Практически из-за неизбежных ошибок измерений при вычислении ΣΔХ ≠ 0 и ΣΔУ ≠ 0.

Вычисленные ΣΔХ и ΣΔУ называются невязками приращений координат, т. е.

f_x = ΣΔХ и f_y = ΣΔУ.

На рис. 66 приводится графическая интерпретация невязок хода.

Абсолютная линейная невязка хода f_абс = I–I' вычисляется по формуле

.

Рис. 66. Невязки в теодолитных ходах

О точности теодолитного хода судят по относительной линейной невязке: ,

где Р – сумма длин линий теодолитного хода.

В теодолитных ходах при средних условиях местности допустимая относительная невязка f_доп = 1:2000, а при неблагоприятных – f_доп = 1:1000. Если относительная ошибка f_отн > f_доп, то в полевых условиях проверяют измеренные длины линий.

Допустимые невязки f_x и f_y распределяются на вычисленные приращения координат ΔХ и ΔУ пропорционально длинам сторон и со знаком, противоположным знаку невязки (в табл. 5 колонки 7 и 8).

Например, поправка в приращение, равное +210,32, по оси Х составит

Найдем линейную невязку в разомкнутом теодолитном ходе II–A–B–IV (см. рис. 66). При безошибочном измерении длин линий точки IV и IV' должны совместиться.

Линейные невязки по осям Х и У:

f_x = Х_IV' – Х_IV = X_II + ΔХ_II-A + ΔХ_A-B + ΔХ_B-IV' – Х_IV = X_II + ΣΔХ – Х_IV;

f_y = У_IV' – У_IV = У_II + ΔУ_II-A + ΔУ_A-B + ΔУ_B-IV' – У_IV = У_II + ΣΔУ – У_IV.

Если в разомкнутом теодолитном ходе n сторон, и известны координаты начальной Х_Н и У_Н и конечной точек Х_К и, тогда выражения для линейных невязок по координатным осям принимают следующий вид:

f_x = Х_Н – Х_К + ΣΔХ,

f_y = У_Н – У_К + ΣΔУ.

Абсолютная и относительная линейные невязки вычисляются по приведенным выше формулам:

, .

В табл. 5 приведем пример обработки угловых измерений и расчет координат точек замкнутого теодолитного хода.