2.2. Прямые и обратные дирекционные углы

Линия, соединяющая две точки на земной поверхности, характеризуется прямым и обратным дирекционными углами. На рис. 10 показаны прямой α_1-2 и обратный α_2-1 дирекционные углы.

Рис.10. Прямой и обратный дирекционные углы

Эти углы, как видно из рисунка, связаны следующей зависимостью:

α_2-1 = α_1-2 + 180º.

В общем виде зависимость между прямыми и обратными дирекционными углами записывается так

α _обр = α_пр ± 180º.

Пример. Если α_пр = 200º, то α _обр = 200º + 180º = 380º– 360º = = 20º, или α _обр = 200º – 180º = 20º.

2.3. Связь между дирекционными углами сторон полигона

На рис. 11. показаны две стороны полигона: предыдущая 1-2 и последующая 2-3.

Рис. 11. Дирекционные углы сторон полигона

Известны дирекционный угол α_1-2 и угол β₂, вправо по ходу лежащий между предыдущей и последующей сторонами. Не трудно видеть, что

α _2-3 = α_1-2 + 180º – β₂.

Дирекционный угол последующей линии равен дирекционному углу предыдущей линии плюс 180º минус угол, вправо по ходу лежащий между рассматриваемыми линиями.

Пример. Если α_1-2 = 340º 12', β₂ = 145º 55', то

α _2-3 = 340º 12' +180º – 145º 55' = 14º17'.

2.4. Румбы. Связь между румбами и дирекционными углами

Румб – это острый угол между данным направлением и ближайшим направлением меридиана (северным или южным).

На рис. 12,а плоскость линиями С-Ю и З-В делится на четыре четверти: первая (1), вторая (2), третья (3) и четвертая (4). В первой четверти r₁ = СВ:45º, во второй r₂ = ЮВ:60º, в третьей r₃ = ЮЗ:55º, в четвертой r₄ = СЗ:30º.

Рис. 12. Румбы и дирекционные углы

На рис. 12,б видно, что

в первой четверти r₁ = α₁ и α₁ = r₁,

во второй – r₂ = 180º– α₂ и α₂ = 180º – r₂,

в третьей r₃ = α₃ – 180º и α₃ = 180º + r₃,

в четвертой – r₄ = 360º – α₄ и α₄ = 360º – r₄.

Пример. Дирекционный угол α = 133º25'. Найти соответствующий этому углу румб.

Дирекционный угол находится во второй четверти, следовательно, угловая величина румба составит 180º – 133º25' = 46º35'. Полная запись румба r = ЮВ : 46º35'.

2.5. Прямая геодезическая задача

Дано: координаты точки 1(х₁; у₁), горизонтальное расстояние между точками 1 и 2 (d), дирекционный угол линии 1-2 ().

Найти: координаты точки 2 (х₂; у₂).

На рис. 13,а видно, что

х₂ = х₁ + Δх, у₂ = у₁ + Δу.

Рис. 13. Прямая геодезическая задача

Из прямоугольного треугольника 1А2 следует, что

Δх = dcosα, Δу = dsinα.

Тогда х₂ = х₁ + dcosα, у₂ = у₁ + dsinα.

Координата последующей точки равна координате предыдущей точки плюс приращение координаты. На практике пользуются следующими формулами:

х₂ = х₁ ± dcosr, у₂ = у₁ ± dsinr.

Пример. Дано: х₁ = 100,00 м; у₁ = 200,00 м; α = 210º;

d = 150,00 м. Найти: х₂, у₂.

Решение. Дирекционный угол линии составляет α = 210º, следовательно, линия находится в третьей четверти. Румб линии r = ЮВ:30º. В третьей четверти приращения координат отрицательные, поэтому

х₂ = х₁ – dcosr = 100,00 – 150,00cos30º =

= 100,00 – 150,000,86602 = – 29,90 м;

у₂ = у₁ – dsinr = 200,00 – 150,00sin30º =

= 200,00 – 150,000,50000 = +125,00 м.