2.6. Обратная геодезическая задача
По заданным координатам точки 1(х1; у1) и координатам точки 2 (х2; у2) найти дирекционный угол линии, соединяющей точки 1 и 2 (), расстояние между точками (d).
На рис. 11,а видно, что из прямоугольного треугольника 1А2
,
отсюда
.
Расстояние между точками 1 и 2 определится по формулам:
,
и
На практике используются следующие математические выражения:
,
,
.
В зависимости от номера четверти, в которой находится румб, дирекционный угол α1 = r1, α2 = 180º – r2, α3 = 180º + r3 и α4 = 360º – r4;
Пример. Дано: х1 = 220,00 м, у1 = 250,00 м, х2 = 120,00м, у2 = 150,00 м. Найти: и d.
Найдем числовое значение румба r.
.
Приращение по оси Y отрицательное (Δу = – 100,00), приращение по оси X также отрицательное (Δх = – 100,00), следовательно, румб находится в третьей четверти, а в этой четверти
α = 180º + r = 180 + 45 = 225.
Расстояние между точками
,
3. Геодезические сети
3.1. Общие сведения о геодезических сетях
При составлении карт и планов и решении геодезических задач на поверхности земли устанавливают пункты (точки), для которых известны координаты Х (абсцисса), У (ордината) и Н (высота). Совокупность таких пунктов, координаты которых получены в единой системе, называют геодезической сетью. Геодезические сети подразделяют на плановые (пункты характеризуются координатами Х и У) и высотные (для пунктов получены высоты Н). Геодезические сети развиваются методами триангуляции, трилатерации, полигонометрии и нивелирования.
Триангуляция – это построение на местности примыкающих друг к другу треугольников, в которых измерены все углы и одна сторона какого-либо треугольника, называемая базисом. Схема триангуляции показана на рис. 14.
Рис. 14. Триангуляция
Цель триангуляции – получение плановых координат вершин треугольников. Координаты находят путем применения прямой геодезической задачи.
Например, для получения координат точки 2 имеются все необходимые данные: координаты исходной точки 1 (Х1 и У1) длина стороны 1-2 (L1-2 = В) и дирекционный угол α1-2. Координаты точки 2:
Х2 = Х1 + L1-2 ·cоsα1-2,
У2 = У1 + L1-2 ·sinα1-2.
Координаты точки 3:
Х3 = Х2 + L2-3 ·cоsα2-3,
У3 = У2 + L2-3 ·sinα2-3.
Здесь неизвестными являются длина L2-3 и дирекционный угол α2-3. Длина стороны 2-3 находится путем решения треугольника 1 2 3 по теореме синусов, т. е.
.
Дирекционный угол α2-3 = α1-2 + 180 – β2.
Трилатерация – это построение на местности примыкающих друг к другу треугольников, в которых измерены все стороны треугольников. На рис. 15 это стороны L1-2, L2-3, L3-1, L2-4, L3-4, L3-5, L4-5, L4-6, L5-6, L5-7, L6-7.
Рис. 15. Трилатерация
Цель трилатерации – получение плановых координат вершин треугольников, которые также как и в триангуляции вычисляются по формулам прямой геодезической задачи.
Для получения координат точки 2 имеются все необходимые данные: Х1 и У1, α1-2 и L1-2.
Координаты точки 2:
Х2 = Х1 + L1-2 ·cоsα1-2,
У2 = У1 + L1-2 ·sinα1-2.
Координаты точки 3:
Х3 = Х2 + L2-3 ·cоsα2-3,
У3 = У2 + L2-3 ·sinα2-3.
Неизвестным является дирекционный угол линии 2-3 α2-3, который вычисляется по формуле
α2-3 = α1-2 + 180 – β2.
В этой формуле неизвестен угол β2, который может быть получен по теореме косинусов:
.
Полигонометрия – построение на местности замкнутых или разомкнутых ломаных линий и измерение длин линий и углов между этими линиями. На рис. 16 приводится разомкнутый полигонометрический ход, в котором измерены правые по ходу углы β1, β2, β3, β4, и длины линий L1-2, L2-3, L3-4, L4-5.
Рис. 16. Полигонометрия
Цель полигонометрии – получение плановых координат точек хода 2, 3, 4, 5. Здесь также используются формулы прямой геодезической задачи.
Координаты точки 2:
Х2 = Х1 + L1-2 ·cоsα1-2,
У2 = У1 + L1-2 ·sinα1-2.
Координаты точки 3:
Х3 = Х2 + L2-3 ·cоsα2-3,
У3 = У2 + L2-3 ·sinα2-3.
В этих формулах неизвестен дирекционный угол α2-3, который вычисляется по формуле
α2-3= α1-2 + 180 – β2.
Нивелирование – это процесс определения превышений между точками и вычисление высот точек (рис. 17). При заданной высоте первой точки H1 и полученных путем измерений превышений h1, h2, h3, h4 и h5 высоты остальных точек поверхности земли вычисляются по следующим формулам:
H2 = H1+ h1, H3 = H2+ h2, H4 = H3+ h3, H5 = H4+ h4 и т. д.
Рис. 17. Нивелирование
Геодезические сети (плановые и высотные) делятся на 4 вида:
1) государственные;
2) сгущения;
3) съемочные;
4) специальные.
Государственные геодезические сети подразделяются на 4 класса (I, II, III и IV). Эти сети служат основой для построения других видов сетей и различных топографических съемок.
Государственные геодезические сети развиваются по принципу "от общего к частному", т. е. от крупных и точных построений к мелким и менее точным. В качестве примера можно привести некоторые данные по триангуляции (плановая сеть) I, II, III и IV классов (табл. 1).
Допустимая
невязка в сетях нивелирования (высотная
сеть) II,
III
и IV
классов составляет
,
,
мм
соответственно.
Геодезические сети сгущения создаются, когда в отдельных районах недостаточное количество пунктов государственной геодезической сети. Они развиваются методами триангуляции, полигонометрии, нивелирования и делятся на сети 1-го и 2-го разрядов.
Таблица 1