Тема 8. Пересечение поверхностей

Линия взаимного пересечения тел, ограниченных кривыми поверхностями вообще и тел вращения в частности, представляет собой пространственную кривую. Эта кривая строятся на чертеже по отдельным принадлежащим ей точкам. Линию пересечения находят по точкам пересечения образующих одной кривой поверхности с образующими другой.

Эти точки могут быть найдены одним из наиболее распро­страненнее способов:

вспомогательных сечений плоскостями (способ секущих плоскостей);

вспомогательных сечений шаровыми поверхностями (способ сфер).

В отдельных случаях при решении задач комбинируют применение вспомогательных сечений плоскостями с шаровыми поверхностями.

Первый из этих способов (способ секущих плоскостей) как наиболее простой имеет преимущественное применение. В некоторых случаях способ сфер оказывается более удобным. Один из двух указанных способов всегда оказывается достаточно эффективным для построения линии пересечения кривых поверхностей, наиболее часто встречающихся в технических формах.

Необходимо отметить, что при всяком взаимном положении пересекающихся тел простота графических построений в задачах рассматриваемого вида в определенной степени зависит от положения заданных тел относительно плоскостей проекций.

Поэтому с целью упрощения построений наиболее выгодное положение тел относительно плоскостей проекций следует предусматривать в условии задачи или, приступая к решению, изменять посредством известных способов преобразования чертежа.

8.1. Способ секущих плоскостей.

Рассмотрим построение линии пересечения кривых поверхностей вращения, наиболее широко применяемых в технике, на некоторых примерах. Прежде всего следует обратить внимание на пересечение поверхностей вращения с шаровой поверхностью. Эти пересечения часто применяются в качестве вспомогательных при решении некоторых частных задач.

Линия пересечения шаровой поверхности с любой поверх­ностью вращения, если центр шара лежит на оси поверхности вращения, представляет собой окружность. Если центр шара не лежит на оси вращения, линия пересечения общем случае будет пространственной кривой.

На рис. 76 шаровая поверхность пересекает поверхность прямого кругового цилиндра. Центр шара лежит на оси вращения цилиндра. В результате пересечения получены две линии пересечения. Фронтальные проекции этих линий представляют собой отрезки прямой, а горизонтальные - окружности.

Рис. 76

Рассмотрим другой пример, когда шаровая поверхность пересекает поверхность прямого кругового конуса (рис. 77).

Рис. 77

Центр шара лежит на оси вращения конуса. В результате пересечений получены две кривые пересечения - окружности, вертикальные проекции которых представляют собой отрезки прямой. Горизонтальная проекция одной из них невидима, т.к. она расположена ниже экватора шара.

А теперь рассмотрим пример построения линий пересечения поверхностей двух цилиндров вращения (рис. 78)

Анализируя задачу, приходим к выводу, что кривую пересечения можно построить двумя способами:

2. Способ вспомогательных сечений плоскостями горизонтального и фронтального уровня, тогда в первом случае фигурой сечения цилиндра меньшего диаметра будет окружность, а большего - прямоугольник.

во втором случае фигурой сечения обоих цилиндров будут четырехугольники.

Способ вспомогательных сечений кривыми поверхностями (сферические сечения), так как оси цилиндров пересекаются. Точка пересечения осей цилиндров может быть использована в качестве центра шаровых поверхностей. Пересечение шара с цилиндром, как мы убедились, образует окружность. Следовательно, пересечение окружностей сечений одного цилиндра с окружностями второго дадут искомые точки кривой пересечения двух заданных цилиндров.

Таким образом, оба способа вспомогательных сечений дают простые для построения линии пересечения - прямые и окружности.

Для построения линии пересечения поверхностей двух цилиндров (рис. 73) использован способ вспомогательных сечений горизонтальными плоскостями S₁ S₂, ... Sn.

Рис. 78

Очевидно, что горизонтальная проекция abcb₁ кривой пересечения двух цилиндров совместилась с горизонтальной проекцией поверхности малого цилиндра, а профильная проекция кривой b₁"a"b" - с частью профильной проекции поверхности большого цилиндра. Для решения задачи остается построить вертикальную проекцию а'b'с' кривой пересечения.

Прежде всего необходимо найти характерные точки А, В, С кривой пересечения. Эти точки лежат на пересечении крайних очерковых образующих большого и малого цилиндров. На фронтальной проекции хорошо видны точки а' и с' , а на профильной проекции точки b₁" и b". Промежуточные точки кривой пересечения цилиндров 1 и 2 и т.д. определяются с помощью вспомогательных сечений. Плоскость горизонтального уровня S пересекает цилиндр малого диаметра по окружности, а большого диаметра - по прямым, образующим. Пересечение профильного следа Sw с окружностью большого цилиндра определяет профильные проекции образующих и их точки встречи 1" и 1₂" с поверхностью малого цилиндра.

Построив горизонтальные проекции образующих, находим горизонтальные проекции точек 1 и 1₁ они лежат на пересечении образующих с проекцией малого цилиндра. Вертикальные проекции 1' и 1₁' этих точек находим по проекционным линиям связи на следе вспомогательной секущей плоскости Sv₁. Аналогично находятся другие промежуточные точки, например 2' и 2₁'. Найденные точки соединяются плавной кривой. Это и будет искомая линия пересечения поверхностей двух данных цилиндров.

8.2. Способ сфер

Рассмотрим примеры применения вспомогательных шаровых поверхностей - способ сфер. Этот способ применяется также к поверхностям вращения и основан на следующих свойствах этих поверхностей.

1. Линией пересечения двух основных поверхностей вращения (т.е. поверхностей с общей осью рис. 76 и 77) является параллель, общая для этих поверхностей, проходящая через точки пересечения их меридианов.

2. Шаровая поверхность, центр (0) которой лежит на оси (MN) какой-либо поверхности вращения, является соосной с последней, так как здесь за ось шара можно принять его диаметр (KL), совпадающий с осью (MN) данной поверхности вращения (рис. 79).

Следовательно, в указанных условиях шар пересекается со всякой поверхностью вращения по параллелям (АВ и СД).

Рис. 79

3. Если даны две поверхности вращения (рис. 80) с пересекающимися осями (KL и MN), то можно подобрать сферу (шар) с центром 0 в точке пересечения осей, линии пересечения которого с данными поверхностями окажутся попарно пересекающимися между собой (АВ, СД,...). Точки пересечения этих линий (Е...) как общие точки данных поверхностей вращения будут принадлежать линии пересечения этих поверхностей.

Рис. 80

4. Так как параллель на поверхности вращения представляет собой окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, то графические построения, связанные с изложенными свойствами, являются наиболее простыми, если одна из плоскостей проекций чертежа параллельна осям данных поверхностей вращения, и, следовательно, параллели проецируются на такую плоскость в виде прямолинейных отрезков.

Таким образом, условия, при которых возможно применение способа сфер для построения линии взаимного пересечения поверхностей двух тел, могут быть выражены в следующих положениях:

1. Данные тела должны быть ограничены поверхностями вращения.

2. Оси поверхностей вращения должны пересекаться.

3. Одна из плоскостей системы проекций должна быть па­раллельна осям поверхностей вращения.

Рассмотрим пример пересечения поверхностей кругового усеченного конуса с цилиндром. Оси поверхностей расположены под некоторым углом α < 90°, пересекаются в точке 0 и параллельны фронтальной плоскости проекций (рис. 81).

Рис. 81

Анализ задачи показывает, что применять способ вспомогательных сечений плоскостями дня построения линии пересечения поверхностей нецелесообразно, т.к. горизонтальные сечения конуса дают эллипс, а фронтальные - гиперболу, т.е. фигуры сложные для построения.

Строить такие сечения в достаточном количестве весьма затруднительно. Применение способа вспомогательных сечений кривыми поверхностями, для нашего случая сферическими, значительно облегчает решение задачи. Построение линии пересечения следует начинать с определения характерных точек А, В и С, Эти точки лежат на пересечении очерковых образующих, их проекции а', с' хорошо видны на фронтальной плоскости V, а b" и b₁" - на профильной.

Горизонтальные проекции этих точек находятся по проекционным связям на соответствующих образующих плоскостей цилиндра и конуса.

Промежуточные точки 1,2,3 и так далее определяются с помощью шаровых сечений. Шаровая поверхность радиуса R₁ пересекает поверхность конуса по окружности, вертикальная проекция которой представляет собой отрезок d'e', а окружность поверхности цилиндра соответственно отрезок k'f'.

Пересечение вертикальных плоскостей окружностей сечения d'e' и k'f' определяют точки 1'и 1₁'. профильные проекции 1'' и 1₁" этих точек находятся по проекционным линиям связи на окружности цилиндра, так как профильная проекция кривой пересечения b₁"a"c"b" совместилась с частью профильного следа поверхности цилиндра (окружность).