Учебно-тематический план

Тема	Количество часов
	Лекции	Практ. занятия	Самост. занятия
Тема 1. Предмет начертательной геометрии. Точка	2	2	16
Тема 2. Прямая
Тема 3. Плоскость	2		20
Тема 4. Основные позиционные и метрические задачи
Тема 5. Способы преобразования чертежа	2	2	12
Тема 6. Поверхность
Тема 7. Пересечение плоскости и прямой с поверхностью		2	14
Тема 8. Пересечение поверхностей	2
Тема 9. Развертки поверхностей
Тема 10. Стандарт ECK D	2		14
Тема 11. Резьбы
Тема 12. Шероховатость поверхностей
Тема 13. Виды изделий
Всего	10	6	84
Итого	100

Учебные материалы

Тема 1. Предмет начертательной геометрии. Точка.

Начертательная геометрия является частью общей геометрии и изучает геометрические основы различных способов изображения пространственных форм и способов решения пространственных задач.

Не всякое изображение предмета позволяет точно определить его геометрическую форму. Для точного определения геометрии предмета необходимо, чтобы изображение выполнялось по определенным правилам. Такое изображение достигается при помощи метода проецирования, который является основным методом начертательной геометрии, а чертежи, выполненные по этому методу, называются проекционными.

Как всякая математическая дисциплина, начертательная геометрия должна изучаться в строгой последовательности. Все последующее логически вытекает из предыдущего. Например, не освоив проецирования точки, первого геометрического элемента, нельзя изучить проецирование прямой. Не зная проецирования прямой, нельзя перейти к плоскости и т.д.

Сама по себе теория начертательной геометрии достаточно проста. Основная трудность предмета заключается в применении этой теории к решению практических задач. Поэтому, только последовательно переходя от одного раздела к следующему, можно успешно освоить весь курс начертательной геометрии.

Курс начертательной геометрии нельзя просто читать. Необходимо, вооружившись карандашом и простейшим чертежным инструментом – циркулем, линейкой, на клетчатой бумаге воспроизвести все построения изложенные в курсе. Применение клетчатой бумаги позволяет вести построения точнее, не допуская ошибок. Хорошую ориентировку в построении дает применение цветных карандашей.

Для успешного изучения дисциплины важно твердое усвоение принятой терминологии, буквенных обозначений, типовых схем и т.д.

Из всего материала курса следует обратить внимание на расположение и взаимосвязь трех проекций точки. Эта схема является азбукой всей инженерной графики. От нее берет начало расположение трех основных проекций любого предмета, принятое во всех чертежах:

- главный вид – вертикальная фронтальная проекция точки.

- вид сверху – горизонтальная проекция.

- вид слева – профильная проекция.

Без абсолютно четкого понимания этой принципиальной схемы нельзя изучать теорию инженерной графики.

Очень важным является отчетливое понимание расположения осей и их знаков в совмещенном положении плоскостей. Для лучшего усвоения и понимания рекомендуется при составлении данной схемы обозначение осей и их знаки наносить полностью. И только когда наступит полная ясность и закрепится в памяти, можно перейти к сокращенному обозначению только положительных направлений.

СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Геометрически закономерное изображение пространственных форм (фигур, линий, точек и т.д.) на плоскости достигается мето­дом проецирования, а чертежи, построенные по этому методу, назы­ваются проекционными.

В практике проецирования используются два способа:

1. Центральное проецирование.

2. Параллельное проецирование, как наиболее распространенное в инженерной графике.

Центральное проецирование

Д ля получения центральных проекций (центральное проецирование) надо задаться плоскостью проекций и центром проекций - точкой, не лежащей в этой плоскости (Рис. 1: P - плоскость проекций; S - центр проекций - точка).

Рис. 1

Взяв некоторую точку А и проведя, через S и A₁ прямую линию до пересечения ее с плоскостью Р, получим точку а_р , Также поступаем, например, с точками В и С. Точки а_р, в_р, с_р являются цент­ральными проекциями точек A₁, В, С на плоскость Р: они получаются в пересечении проецирующих прямых (лучей) SA₁, SB, SС с плоскостью проекций Р.

Очевидно, если изменить центр проекций, то получатся новые проекции точек на плоскость Р.

На примере центрального проецирования основано фотографиро­вание, кинопроектирование и выполнение чертежей способом линейной перспективы. Линейная перспектива применяется в архитектуре.

Параллельное проецирование

П ри параллельном проецировании считается, что центр проек­ций отсутствует, а есть только направлении проецирования. При этом все проецирующие прямые (лучи) параллельны между собой и параллель­ны заданному направлению (рис. 2).

Рис. 2

Следовательно, параллельной проекцией точки будем называть точку пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекций.

Рассмотрим свойства параллельного проецирования.

1. Каждой точке пространства соответствует одна проекция этой точки на плоскости проекций (рис. 2: А, В, С).

2. Одна проекция не определяет положение точек в пространстве (рис. 2: С C₁, С₂).

3 . Проекция прямой - есть прямая (рис. 3). Действительно, проецирующие лучи, проходящие через точки прямой L (рис. 3: А, В, С), образуют плоскость, которая пересе­кается с плоскостью проекций Р по линии l. Эта линия является проекцией прямой L.

Рис. 3

4. Если пространственный отрезок прямой АВ разделить в за­данном отношении (рис. 3 - отрезок АВ точкой С делится пополам), то и проекция этого отрезка а_р в_р разделится в том же отношении. Это очевидно, если вспомнить теорему о пропорциональности отрез­ков прямых между параллельными прямыми (параллельные проецирующие лучи).

5. Проекции параллельных линий параллельны между собой (ес­ли две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью, то ли­нии пересечения этих плоскостей будут параллельны).

6. Каждая линия на плоскости проекций может быть проекцией множества линий, если они расположены в общей для них проецирую­щей плоскости (рис. 4)

Рис. 4

Отрезок а_рв_р служит проекцией отрезков АВ, A₁B₁ и отрезка плоской кривой A₂B₂.

7. Для построения проекции прямой достаточно спроецировать две ее точки и через полученные проекции этих точек провести пря­мую линию.

8 . Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принад­лежит проекции этой прямой (рис. 5: точка К принадлежит прямой, к_р принадлежит проекции этой прямой).

Рис. 5

9. Если прямая параллельна направлению проецирования (рис.5 прямая АВ), то проекцией прямой (и любого ее отрезка) является точка (а_р совпадает с в_р).

10. Отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную величину (рис. 5: CD = c_pd_p

как отрезки параллельных прямых).

Из рассмотренных свойств следуют два очень важных следствия:

1. Сохраняется пропорциональность изображения (проекции) и предмета в натуре.

2. Параллельность линий (ребер) в натуре сохраняется в изображении.

В начертательной геометрии и инженерной графике (техническом черчении) в основном применяется способ параллельного прямоуголь­ного проецирования, т.е. направление проецирования - проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций. Этот способ называется ортогональным проецированием.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ. МЕТОД МОНЖА.

Одним из свойств параллельного проецирования является то, что одна проекция не определяет положения точек в пространстве.

С развитием техники первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобоизмеримость изображений, т.е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путем прос­тых приемов определить размеры отрезков линий и фигур.

Такой метод был предложен Гаспаром Монжем (Гаспар Монж -(1746 - 1818) французский ученый, математик-геометр, инженер, го­сударственный деятель в период революции 1789-1794 г.г. и правле­ния Наполеона Бонапарта).

Изложенный Монжем метод - метод параллельного проецирования (причем берутся прямоугольные проекции на две взаимно перпендику­лярные плоскости проекций) - был и остается основным методом сос­тавления технических чертежей.

Слово прямоугольный в литературе заменяют словом ортогональ­ный. При изучении начертательной геометрии термин ортогональные проекции применяется для обозначения системы прямоугольных проек­ций на взаимно перпендикулярных трех плоскостях.

Рис. 6

На рис. 6 изображены две взаимно перпендикулярные плоскости. Примем их за плоскости проекций и обозначим буквой Н плоскость расположенную горизонтально, а буквой V - вертикально. Вертикальную плоскость V принято называть фронтальной, а плоскость Н - горизонтальной плоскостью проекций. Они образуют систему V , Н.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось проекций разделяет каждую из плоскостей V и Н на полуплоскости (отсеки). Эта ось обозначается X или в виде дроби V/Н. Спроецируем на эти плоскости (рис. 7,а) некоторую пространственную точку А.

Рис. 7

Проведя из точки А перпендикуляры к V и Н, получим проекции точки А:

фронтальную (вертикальную) на плоскость V, обозначенную а’

горизонтальную на плоскость Н, обозначенную а.

Проецирующие прямые соответственно, перпендикулярные к V и H, являются пересекающимися прямыми в точке А, следовательно они определяют плоскость, перпендикулярную к плоскостям проекций и к оси проекций X. Эта плоскость в пересечении с V и Н образует две взаимно перпендикулярные прямые а'1 и а1, пересекающиеся в точке 1 на оси проекций X. Следовательно проекции некоторой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке.

Две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций.

Для получения чертежа (рис. 7, б) плоскость Н поворачивают вокруг оси X, как показано на рис. 7а до совмещения с плос­костью V. В результате поворота образуется одна плоскость изоб­ражений, на которой точка показывается своими проекциями (а' и а).

Проекции а' и а расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций. Этот перпендикуляр называется проекционной линией связи.

В результате такого совмещения плоскостей V и Н получается чертеж, известный под названием эпюр - эпюр Монжа (с французского Epure - проект, чертеж).

Т ак как при наличии оси проекций положение точки А относи­тельно плоскостей проекций V и Н установлено, то отрезок а'1 вы­ражает расстояние точки А от плоскости Н, а отрезок al - расстоя­ние точки А от плоскости V . Отсюда можно определить расстояние точки А от оси проекций. Оно выражается гипотенузой треугольника, построенного по катетам а'1 и al (рис.8)

Рис. 8

Откладывая на чертеже отрезок а'А, равный A1, перпендикуляр­но к а'1, получаем гипотенузу A1, выражающую искомое расстояние.

Следует обратить внимание на необходимость проведения линий связи между проекциями точки.

Решение рассмотренной задачи было достигнуто с применением только двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Но в бо­лее общем виде проецирование ведется на три взаимно перпендикуляр­ные плоскости как отвечающие трем измерениям объемной формы, т.е. длине, ширине и высоте, также имеющих взаимно перпендикулярное по­ложение в пространстве.

Следует помнить, что число проекций и равное ему число плос­костей проекций во всех случаях должно выбираться минимальным, но достаточным для решения поставленной задачи.

В системе трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций (рис. 9) главной является вертикальная (фронтальная) плоскость V; второй - горизонтальная плоскость Н; третья, перпендикулярная к двум первым, называется профильной и обозначается буквой W. При своем пересечении эти плоскости образуют три взаимно перпендикуляр­ные прямые, называемые осями координат х, у, z ; точка 0, точка их пересечения, называется началом координат.

Рис. 9

Оси координат х, у, z от начала координат 0 расположены в двух противоположных направлениях. Для обозначения этих направле­ний вводится правило знаков. Направление оси х влево принято счи­тать положительным (+х), а вправо - отрицательным (-х). Направле­ние оси у вперед считается положительным (+у), а назад - отрица­тельным (-у). Направление оси z вверх считается положительным (+Z ), и вниз - отрицательным (-z).

Таким образом, пространство, в котором расположена система трех взаимно перпендикулярных плоскостей, делится на восемь частей называемых октантами. Основным считается первый октант.

Для совмещения всех трех плоскостей в одну способом условного поворота за основу принимается фронтальная (вертикальная) плоскость V, остающаяся в неизменном положении. Горизонтальная плоскость Н, вращаясь вокруг оси х, передним краем отсека опускается вниз; а профильная плоскость W , вращаясь вокруг вертикальной оси Z , передним краем отводится вправо.

И так, ось у не является осью вращения отсеков плоскостей и принадлежит одновременно как плоскости Н: у_н (у), так и плоскости W: y_w (y₁) (рис. 10).

Рис. 10

Рассмотрим теперь точку в трех взаимно перпендикулярных плоскостях проекций.

Рис. 11

Наглядное изображение (рис. 11, а) и чертеж (рис. 11, б) содержат горизонтальную а, фронтальную а и профильную А проекции неко­торой точки А.

Горизонтальная и фронтальная проекции (а и а') расположены на одном перпендикуляре к оси X - на линии связи а' а; фронтальная и профильная проекции (а и а') - на одном перпендикуляре к оси Z - на линии связи а'а". Порядок построения профильной проек­ции точки а" по фронтальной а' и горизонтальной а представлен на рис. 11б.

Расстояние точки А от плоскости Н измеряется на чертеже (рис. 11, б) отрезком а' 1 или a" 2₁; расстояние от V- отрезком a1 или отрезком a"3;

расстояние от W - отрезком а2 или отрезком а'3.

Расстояние от точки А до оси X измеряется в пространстве отрезком A1 = lx. Аналогично расстояние от точки А до оси У выражается отрезком l_y и расстояние от точки А до оси z - от­резком l_z.

Таким образом, расстояния точки от плоскостей проекций и от осей проекций, могут быть измерены непосредственно, как определен­ные отрезки на чертеже (с учетом масштаба), т.е. модель положения точки в системе плоскостей проекций V , Н, W аналогична модели в системе декартовых координат.

Действительно, прямые, по которым пересекаются плоскости координат, называются осями координат. Точка пересечения осей координат обозначается буквой 0.

На рис. 11, а рассмотрим образование отрезков, определяющих координаты некоторой точки А: из точки А проведены перпендикуляры к каждой из плоскостей координат. Первая координата точки, называ­емая абсциссой, выразится числом, полученным от сравнения отрезка Аа" (или равного ему отрезка 01 на оси X) с некоторым отрезком, принятым за единицу масштаба. Также отрезок Аа' (или равный ему отрезок 02 на оси У) определит вторую координату точки А, называемую ординатой. Отрезок Аа (или равный ему отрезок 03 на оси Z) - третью координату, называемую аппликатой.

Т аким образом, построение точки по заданным ее координатам сводится к построению трех ребер параллелепипеда координат, сос­тавляющих трехзвенную ломаную линию (рис. 12)

Рис. 12

Например, надо отложить последовательно отрезки 01, 1а, аА или 02, 2а" и а"А и т.д., т.е. точку А при известных координатах можно построить шестью комбинациями, в каждой из которых должны быть все три координаты.

Следовательно, построение проекций точки сопровождается построением отрезков, определяющих координаты этой точки, если принять плоскости проекций за плоскости координат. Каждая из про­екций точки А определяется двумя координатами этой точки; например, положение проекции а определяется координатами х и у.