Тема 3. Плоскость.

3.1. Положение плоскости относительно плоскостей проекции.

Из элементарной геометрии известно, что положение плоскости и пространстве определяется:

тремя точками, не лежащими на одной прямой;

прямой и точкой, взятой вне прямой;

двумя пересекающимися прямыми;

двумя параллельными прямыми.

В соответствии с этим на чертеже (на плоскостях проекций) плос­кость может быть задана:

1. Проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 26)

Рис. 26

2. Проекциями прямой и точки, взятой вне прямой (рис. 27)

Рис. 27

3. Проекциями двух пересекающихся прямых (рис. 28)

Рис. 28

4. Проекциями двух параллельных прямых (рис. 29)

Рис. 29

5 . Положение плоскости в пространстве определяется (может быть задано) также проекциями любой плоской фигуры (треугольника, многоугольника, круга и пр.), лежащей в данной плоскости. Пусть некоторая плоскость Р определена точками А,В,С (рис. 30)

Рис. 30

Проведя прямые через одноименные проекции этих точек, полу­чим, проекции треугольника АВС.

Если взять произвольно, например, точку Д на прямой АВ, то мы знаем, что эта точка принадлежит плоскости Р. Проводя прямую через точку Д и через другую точку, заведомо принадлежащую плоскости Р (например, через точку С), получаем еще одну прямую в плоскости Р.

Аналогично могут быть построены прямые, а, следовательно, и точки, принадлежащие плоскости, заданной любым из способов.

Все рассмотренные комбинации, определяя положение плоскости в пространстве, не дают, однако, возможности наглядно судить о том, как эта плоскость расположена относительно принятой системы плос­костей проекций. Наглядность положения плоскости может быть полу­чена только путем построения линий ее пересечения с плоскостями проекций.

3.2. Следы плоскости.

Линии пересечения некоторой плоскости с плоскостями проекций называются следами этой плоскости на плоскостях проекций.

В зависимости от того, какую из плоскостей проекций пересекает данная плоскость, ее следы называются:

- горизонтальным;

- фронтальным (вертикальным);

- профильным. Рассмотрим пространственное (рис.31) изображение некоторой плоскости и ее следов.

Рис. 31

Принятые обозначения: Ph - горизонтальный след плоскости;

Pv - фронтальный (вертикальный) след плоскости Р;

Pw - профильный след плоскости Р;

P_x - точка схода следов на оси Х;

P_y - точка схода следов на оси Y

P_z - точка схода следов на оси Z

На рис.31 изображена плоскость, пересекающая горизонтальную плоскость проекций по прямой Pv, обозначенной Ph, фронтальную плоскость проекций - по прямой Pv и профильную - по прямой Pw.

Если плоскость пересекает ось проекций, то на этой оси полу­чается точка пересечения следов плоскости. Так как следы Pv и Ph пересекаются на оси X в точке, обозначенной P_x; следы Ph и Pw пересекаются в точке P_y; а следы Pv и Pw в точке P_z, то эти точки называют точками схода следов.

След плоскости на плоскости проекций сливается со своей проек­цией на этой плоскости. След Ph (рис. 31) сливается со своей горизонтальной проекцией; фронтальная проекция этого следа располагается на оси проекций. След Pv сливается со своей фронтальной про­екцией; горизонтальная проекция этого следа располагается на оси проекцией и т.д.

На чертеже плоскость может быть задана проекциями ее следов (рис.32). Такой чертеж нагляден и представляет удобства при некото­рых построениях.

В общем случае в системе V , H, W (рис. 31) некоторая плоскость Р пересекает все оси проекций.

На рис.31 представлено расположение плоскости Р в первом ок­танте. Плоскость Р пересекает оси X, Y, Z. Такая плоскость называется плоскостью общего положения.

Так как точки Px, Py, Pz лежат соответственно на осях X, У и Z, то для построения чертежа плоскости в системе V, H, W достаточно иметь заданными отрезки OPx, OPy и OPz, т.е. знать координаты точек Px, Py и Pz в системе осей X, Y, Z.

Вообще каждая из этих точек имеет фактически только одну координату, т.к. две другие координаты равны нулю. Например, для построения точки Pz надо знать только ее аппликату; абцисcа и ордината этой точки равны нулю.

3.3. Положение плоскости относительно плоскости проекций.

Кроме рассмотренного нами общего положения плоскости относительно плоскостей проекций, она может занимать и частные положения, т.е. возможны следующие положения плоскости относительно плоскос­тей проекций V, H, W:

1.Плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций.

2.Плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей проекций.

3.Плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций. Плоскости перпендикулярные к одной или двум плоскостям проекций называются проецирующими.

Плоскость общего положения

Рис. 32

На рис. 32 плоскость, заданная треугольником АВС очевидно не перпендику­лярна ни к плоскости V, ни к плоскости H; Если бы она была перпендикулярна, например, к плоскости H, то проекция авс представляла бы собой отрезок прямой.

Но может быть плоскость треугольника АВС перпендикулярна W? Это легко проверить построением проекции этой плоскости на плоскость проекций W.

Следует запомнить, что следы плоскости общего положения ни­когда не перпендикулярны к осям проекций, они пересекают эти оси.

Плоскость проецирующая.

Если какая-либо плоскость перпендикулярна к одной из плоскос­тей проекций, то возможны три случая частных положений.

а ) Плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции (рис.33)

Рис. 33

Такие плоскости называются горизонтально-проецирующими. На рис. 33а представлено пространственное изображение, а на рис.336 -чертеж в системе V, H. Из чертежа видно, что признаком горизонтально-проецирующей плоскости является то, что ее фронтальный след перпендикулярен к оси проекций X и плоскости Н.

Горизонтальный же след Sh может составлять с осью проекций любой угол. Этот угол является линейным углом двугранного угла между горизонтально-проецирующей плоскостью и плоскостью V (угол β).

Если в горизонтально-проецирующей плоскости расположена неко­торая точка (например, А), то ее горизонтальная проекция находится на горизонтальном следе плоскости Sh. Это распространяется и на любую систему точек, расположенных в горизонтально-проецирующей плоскости: прямые линии, плоские кривые линии или плоские фигуры (собирательное свойство).

б ) Плоскость перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций (рис. 34)

Рис. 34

Такие плоскости называются фронтально-проецирующими. На рис. 34а представлено наглядное изображение, а на рис. 34б - чертеж в системе V, H. Из чертежа видно, что признаком фронтально-прое­цирующей плоскости является то, что ее горизонтальный след перпен­дикулярен к оси проекций X и к плоскости V.

Фронтальный же след может составлять с осью проекций Ox лю­бой угол. Этот угол является линейным углом двугранного угла между фронтально-проецирующей плоскостью и плоскостью Н (угол α).

Фронтально-проецирующая плоскость также обладает собирательным свойством. Вообще след Tv можно рассматривать (является) как фронтальную проекцию плоскости Т.

в) Плоскость перпендикулярна к профильной плоскости проекций W (рис. 35)

Т акие плоскости называются профильно-проецирующими. На рис.35а представлено наглядное изображение, а на рис.35б - чертеж в системе V, H, W с указанием осей X, Y, Z и следов плос­кости Rv, Rh, Rw.

Рис. 35

Горизонтальный Rh и фронтальный следы этой плоскос­ти параллельны оси X и, следовательно, параллельны между собой (это признак).

Профильный след Rw определяет линейные углы альфа и бета двугранник углов между профильно-проецирующей плоскостью и плоскос­тями H и V, соответственно.