3.4 Плоскость уровня
Если какая-либо плоскость перпендикулярна двум плоскостям проекций, то она называется плоскостью уровня. В этом случае также возможны три частных положения.
а) Плоскость перпендикулярна к плоскостям проекций V и W (рис.36)
Такая плоскость параллельна плоскости Н и называется горизонтальной или горизонтального уровня.
Рис. 36
В системе V, Н ее фронтальный след Tv (рис.36в) параллелен оси проекций X.
б) Плоскость перпендикулярна к плоскости проекций H и W (рис.37)
Рис. 37
Такая плоскость параллельна плоскости V и называется фронтальной или фронтального уровня. В системе V, H ее горизонтальный след Sh (рис.38б) параллелен оси проекций X и является проекцией этой плоскости на плоскости проекций H.
в) Плоскость перпендикулярна к плоскости проекций Н и V (рис.38)
Такая плоскость называется профильной или профильного уровня.
Рис. 38
На рис.38в представлен чертеж профильной плоскости в системе V, H при помощи ее следов. Каждый из следов можно рассматривать как проекцию плоскости Р на соответствующие плоскости проекций (см. проекции точки С).
Следует обратить внимание, что профильная плоскость сочетает в себе свойства фронтально- и горизонтально-проецирующих плоскостей.
3.5. Прямая и точка в плоскости
Прямая относительной какой-либо плоскости может занимать следующие положения:
1. Прямая лежит в плоскости.
2. Прямая параллельна плоскости.
3. Прямая пересекает плоскость.
Из элементарной геометрии известно, что:
1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости.
2. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости и параллельная прямой, находящейся в этой плоскости или параллельной ей.
Рассмотрим пространственное (рис.39а) и плоское (рис.39б) изображение некоторой прямой MN, лежащей в плоскости общего положения Р.
Рис. 39
По представленным фигурам легко установить правило начертательной геометрии о прямой, лежащей в плоскости. Если прямая лежит в плоскости, то ее следы лежат на одноименных следах плоскости.
Можно сформулировать и второй вариант правила о прямой, лежащей в плоскости.
Если плоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними следах плоскости.
Это правило позволяет выполнять очень важные построения начертательной геометрии: построения следов плоскости, заданной проекциями точек и линий, лежащих в ней.
Например, если плоскость задана пересекающимися прямыми K и L и требуется определить положение этой плоскости в пространстве (рис.40), необходимо сначала определить следы этих прямых на плоскостях проекций и через них провести одноименные следы самой плоскости.
Рис. 40
Это же правило позволяет провести в плоскости прямую или наоборот, через прямую провести плоскость.
Например, необходимо провести через прямую общего положения L горизонтально-проецирующую плоскость (рис. 41).
Здесь (рис.41) направление горизонтальной прямой сливается с направлением горизонтального следа плоскости, а вертикальный след проводится из точки схода следов Px перпендикулярно оси X. Такое построение необходимо запомнить, т.к. оно часто используется в задачах на пересечение прямых с геометрическими фигурами.
Рис. 41
Рассмотрим второе правило.
П
усть
плоскость Р (рис.42) определяется точкой
А и прямой ВС.
Рис. 42
Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельно прямой ВС, принадлежит плоскости Р.
О
тсюда,
прямая принадлежит плоскости, если она
параллельна одному из следов этой
плоскости и имеет с другим следом общую
точку (рис. 43).
Рис. 43
3.6 Точка в плоскости
Для построения на чертеже точки необходимо сначала построить прямую, лежащую в заданной плоскости. Любая точка этой прямой будет лежать в заданной плоскости.
Н
апример,
требуется найти фронтальную проекцию
некоторой точки D,
если задана ее горизонтальная проекция
d
и известно, что точка D
должна
принадлежать плоскости, заданной
треугольником ABC
(рис.44)
Рис. 44
Порядок построения. Сначала строят горизонтальную проекцию некоторой прямой так, чтобы точка D могла оказаться на этой прямой, а сама прямая была бы расположена в данной плоскости. Для этого проводится прямая через точки а и d отмечается точка m, в которой проекция прямой ad пересекает отрезок cb. Построив фронтальную проекцию m' на b'c' получаем прямую А, расположенную в заданной плоскости. Эта прямая проходит через точки А и М, из которых первая заведомо принадлежит данной плоскости, а вторая в ней построена.
Искомая фронтальная проекция d' точки D должна быть на фронтальной проекции прямой AМ.
Таким образом, чтобы определить, лежит ли данная точка в плоскости, через нее проводится прямая, которая также должна лежать в плоскости. Если такую прямую построить нельзя, то это показывает, что точка не лежит в плоскости (рис.45).
Рис. 45
Очевидно, что точки А и С лежат в плоскости Р, а точка B находится вне этой плоскости.